Toán 12 Tìm tổng các giá trị m nguyên.

[Tungtom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tổng các giá trị nguyên của $m$ để tồn tại giá trị thực $x;y$ thoả mãn:
$e^{x^2+y^2-m}+e^{x+y+xy-m}=x^2+y^2+x+y+xy-2m+2$
Mọi người giúp đỡ em bài này với ạ. Em xin cảm ơn.

 

[Lê.T.Hà]

Xét hàm [tex]f(x)=e^x-x-1\Rightarrow f'(x)=e^x-1=0\Rightarrow x=0[/tex]
Từ BBT [tex]\Rightarrow f(x)_{min}=f(0)\Rightarrow f(x) \geq 0;\forall x\Rightarrow e^x \geq x+1;\forall x[/tex] (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0
Từ đó:
[tex]2\left(\dfrac{x^2+y^2+x+y+xy-2m}{2}+1\right) \geq 2\sqrt{e^{x^2-y^2-m}.e^{x+y+xy-m}}=2.e^{\frac{x+y+x+y+2x-2m}{2}}[/tex] (2)
(1);(2) [tex]\Rightarrow \begin{cases}x^2+y^2+x+y+xy-2m=0\\x^2+y^2-m=x+y+xy-m \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2-m=0\\x+y+xy-m=0 \end{cases}[/tex]
[tex]x^2+y^2 \geq 0[/tex]
[tex]x^2+y^2=x+y+xy \leq \sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)\Rightarrow x^2+y^2 \leq 8[/tex]
[tex]\Rightarrow 0 \leq m \leq 8[/tex]

Chỗ (2) lỗi typing hơi nhiều, bạn chịu khó đọc, cơ bản là AM-GM vế trái giả thiết thôi