Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc đáy. Khoảng cách từ A đến (SBD) = 6. Gọi alpha là góc giữa (SBD) và đáy. Tính sin alpha khi V S.ABCD min
Gọi $o$ là giao $BD$ và $AC$, trên $mp(SAC)$ kẻ $AH\bot SO$ ($H\in SO)$
Đặt $SA=h$, $AB=a$
Ta có $\left\{\begin{matrix}
BD\bot AO&\text{($ABCD$ là hình vuông)}\\
BD\bot SA&\text{($SA\bot (ABCD)$}\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow BD\bot (SAC)\Rightarrow BD\bot AH$
Lại có $\left\{\begin{matrix}
AH\bot BD\\
AH\bot SO\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow AH\bot (SBD)\Rightarrow AH$ là khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)\Rightarrow AH=6$
Định lý Pytago $SB^2=SA^2+AB^2=SA^2+AD^2=SD^2$
Suy ra $SB=SD\Rightarrow\Delta SBD$ cân tại $S\Rightarrow SO\bot BD$ (do $O$ là trung điểm $BD$)
Có $\left\{\begin{matrix}
AO\bot BD\\
SO\bot BD\\
BD=(SBD)\cap(ABCD)\end{matrix}\right.\Rightarrow\alpha=\left(\widehat{SO,AO}\right)=\widehat{SOA}$
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác $SAC$
$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{CA^2}$
$\Rightarrow\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{h^2}+\dfrac{1}{2a^2}=\dfrac{2a^2+h^2}{2a^2h^2}$
$\Rightarrow 72a^2+36h^2=2a^2h^2 $
$\Leftrightarrow 2a^2(h^2-36)=36h^2$
$\Rightarrow a^2=\dfrac{18h^2}{h^2-36}$
Diện tích hình chóp là
$V=\dfrac{1}{3}a^2h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{18h^2}{h^2-36}.h=\dfrac{6h^3}{h^2-36}$
Xét hàm số $y=f(h)=\dfrac{6h^3}{h^2-36}$
$y'=\dfrac{6h^2(h^2-108}{(h^2-36)^2}$
$y'=0\Leftrightarrow h=0$ hoặc $h=6\sqrt{3}$
Do $h=0$ là nghiệp kép nên không có cực trị, nên $f(h)$ đạt cực tiểu khi $h=6\sqrt{3}$ (kỹ hơn thì lập bảng xét dấu)
$\Rightarrow a=3\sqrt{3}$
Suy ra $\sin{\alpha}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{6}{a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
