Có: [tex]3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+ab^2)+(b^3+b^2c)+(c^3+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a \ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)(Cauchy)[/tex]
Tiếp tục
[tex]P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3(ab+bc+ca)}{3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{\frac{2}{3}.3(ab+bc+ca)}{\frac{2}{3}.3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+ \frac{2(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}[/tex]
Đặt [tex]a^2+b^2+c^2=x[/tex] có:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}=x+\frac{9-x}{2x}=x+\frac{9}{2x}-\frac{1}{2}=x+\frac{9}{x}-\frac{9}{2x}-\frac{1}{2}\geq 2\sqrt{9}-\frac{9}{2x}-\frac{1}{2}(Cauchy)\\x=a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\\\rightarrow 2\sqrt{9}-\frac{9}{2x}-\frac{1}{2}\geq 6-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=6-2=4\\"="\rightarrow a=b=c=1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
