Đặt [TEX]P=f(a,b,c)[/TEX]. Không mất tính tổng quát giả sử [tex]\max \left \{ a,b,c \right \}=a[/tex]
Xét trường hợp [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]. Khi đó ta thấy [TEX]f(a,b,c)-f(a,c,b)=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0[/TEX] nên ta đưa về trường hợp [TEX]a \geq c \geq b[/TEX].
Xét [TEX]f(a,b,c)-f(3,b,c)=\frac{(3-a)(c-b)(3a-bc)}{(b+3)(c+3)(a+c)(a+b)} \geq 0[/TEX]
[TEX]f(a,b,c)-f(a,\frac{1}{3},c)=\frac{(3b-1)(a-c)(3ac-b)}{(3a+1)(3c+1)(a+b)(b+c)} \geq 0[/TEX]
Từ đó [TEX]f(a,b,c) \geq f(3,\frac{1}{3},c)[/TEX]
Mà [TEX]f(3,\frac{1}{3},c)=\frac{9}{10}+\frac{1}{1+3c}+\frac{c}{c+3}=\frac{9}{10}+\frac{3c^2+2c+3}{3c^2+10c+3}[/TEX]
Nhận thấy [TEX]\frac{3c^2+2c+3}{3c^2+10c+3}-\frac{1}{2}=\frac{3c^2-6c+3}{2(3c^2+10c+3)}=\frac{3(c-1)^2}{2(3c^2+10c+3)} \geq 0 \Rightarrow P=f(a,b,c) \geq f(3,\frac{1}{3},c) \geq \frac{9}{10}+\frac{1}{2}=\frac{7}{5}[/TEX]
Dấu [TEX]"="[/TEX] xảy ra tại [TEX](a,b,c)=(3,\frac{1}{3},1)[/TEX] và các hoán vị vòng quanh của nó.
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
