Toán 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex]

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi Junery N, 21 Tháng sáu 2021.

Lượt xem: 136

  1. Junery N

    Junery N Cựu Hỗ trợ viên Thành viên HV CLB Địa lí

    Bài viết:
    4,402
    Điểm thành tích:
    916
    Nơi ở:
    Nam Định
    Trường học/Cơ quan:
    In the sky
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt sáu môn học.


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Cho ba số thực [tex]x;y;z[/tex] thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex].
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]A=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}[/tex]
    :meomun19
     
  2. kido2006

    kido2006 TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    932
    Điểm thành tích:
    151
    Nơi ở:
    Bắc Ninh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Bắc Ninh

    [tex]\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(x-y)^2+\frac{5}{4}(x+y)^2}\geq \sqrt{\frac{5}{4}(x+y)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
    Chứng minh tương tự rồi cộng vế [tex]\Rightarrow A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
    Dấu = khi x=y=z=1/3
     
  3. bellanguyen362@gmail.com

    bellanguyen362@gmail.com Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    8
    Điểm thành tích:
    16
    Nơi ở:
    Nam Định
    Trường học/Cơ quan:
    THPT chuyên Lê Hồng Phong

    [tex]2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2\geq \frac{5}{4}(x+y)^2[/tex]

    [tex]\rightarrow \sqrt{x^2+xy+2y^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
    CMTT rồi cộng vế ta được :
    [tex]A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
    Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}[/tex]
     
  4. Duy Quang Vũ 2007

    Duy Quang Vũ 2007 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    174
    Điểm thành tích:
    51
    Nơi ở:
    Quảng Ninh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Chu Văn An

    Cách khác:
    Ta có: [tex]\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4x^{2}+2xy+4y^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3(x^2+y^2)+(x+y)^2}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3\frac{(x+y)^{2}}{2}+(x+y)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
    Tương tự: [tex]\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(y+z)\\ \sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(z+x)[/tex]
    Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
    [tex]A\geq \frac{\sqrt{5}}{2}.2(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
    Đẳng thức xảy ra khi [tex]x=y=z=\frac{1}{3}.[/tex]
     
    Junery Nbellanguyen362@gmail.com thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY