Phương trình 2 đường trung tuyến lần lượt là: $BI: 3x-y-7=0$ và $CM: x+y+1=0$ phải không bạn?
+ Gọi $K(x_K,y_K)$ là trung điểm đoạn $BC$ $(K \in BC)$, $G$ là giao điểm $BI$ và $CM$
Mà $BI$ và $CM$ là 2 đường trung tuyến của tam giác $ABC$, nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Toạ độ $G$ là nghiệm của hệ phương trình: $
\left\{\begin{matrix}
3x-y-7-0 \\ x+y+1=0
\end{matrix}\right. \\
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x= \dfrac{3}{2} \\ y=- \dfrac{5}{2}
\end{matrix}\right.
$
$\Rightarrow G \left ( \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2} \right )$
$\overrightarrow{AG}= \left ( -\dfrac{1}{2}; -\dfrac{7}{2} \right ), \ \overrightarrow{AK}=(x_K-2,y_K-1)$
+ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow \overrightarrow{AG}= \dfrac{2}{3} . \overrightarrow{AK}$ (suy ra từ tính chất trọng tâm của tam giác)
$
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
-\dfrac{1}{2}= \dfrac{2}{3} (x_K-2) \\ -\dfrac{7}{2}= \dfrac{2}{3} (y_K-1)
\end{matrix}\right. \\
\Leftrightarrow \ ... \\
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_K= \dfrac{5}{4} \\ y_K=- \dfrac{17}{4}
\end{matrix}\right. \Rightarrow K \left ( \dfrac{5}{4}; - \dfrac{17}{4} \right )
$
+ Ta có $BI: 3x-y-7-0, \ CM: x+y+1=0$, nên Gọi $B(x_B,3x_B-7), \ C(x_C,-x_C-1)$
$K$ là trung điểm đoạn $BC \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x_B+x_C}{2}= \dfrac{5}{4} \\ \dfrac{3x_B-7-x_C-1}{2} = \dfrac{-17}{4}
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_B= \ ... \\ x_C= \ ...
\end{matrix}\right.
$
Từ đó tính ra toạ độ $B,C$
Sau đó tính được độ dài ba cạnh bằng công thức $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ (tương tự cho $AC, \ BC$),
rồi ra được $S_{ABC}$ bằng công thức Hê-rông: $S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$, với $p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
