Ta có: $SC \bot AM$ và $AM\perp SB$ nên $AM \bot (SBC) \Rightarrow AM \bot MC$
Suy ra $\widehat {AMC} = {90^0}$ và $\widehat {APC} = {90^0}$
Mặt khác $\widehat {ANC} = {90^0}$
Các tam giác $AMC, APC, ANC$ là các tam giác vuông có chung cạnh huyền $AC$.
Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ suy ra: $OA=OM=OP=ON=OC$.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $C.MNP$ là trung điểm của $AC$ suy ra
$$R = \frac{{AC}}{2} = 2 \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{32}}{3}\pi$$