Toán 10 $\sqrt{-4x^4y^2 + 16x^2y + 9} - \sqrt{y^2x^2 - 2y^2} = 2(x^2 + \dfrac1{x^2})$

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
hpt: $y = 0$ thì 3 pt đều suy ra $x = 0$ hoặc $z = 0$, tương tự suy ra $(0,0,k)$ là một nghiệm của hpt
Xét $x, y, z \ne 0$ thì pt 1 $\iff \left( \dfrac1y + \dfrac1z \right)^2 = 3 + \dfrac1x + \dfrac1{x^2}$
$\iff \left( \dfrac1y + \dfrac1z \right)^2 = \dfrac{11}4 + \left( \dfrac1x + \dfrac12 \right)^2$
$\iff \left( -\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z - \dfrac12 \right)\left( \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z + \dfrac12 \right) = \dfrac{11}4$
Tương tự với các pt còn lại rồi bạn chia mỗi pt cho nhau nhé, sẽ ra hệ bậc 1

pt: $\sqrt{-4(x^2y - 2)^2 + 25} - \sqrt{x^2y^2 - 2y^2} = 2(x^2 + \dfrac1{x^2})$. ĐK căn thứ hai: $x \geqslant \sqrt{2}$ (do $x > 0$)
Ta có $VP = VT \leqslant 5$
$\implies 2x^4 + 2 \leqslant 5x^2$
$\implies \dfrac{\sqrt{2}}2 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}$. Kết hợp điều kiện suy ra $x = \sqrt{2}$. Từ đó suy ra $y = 1$
 
Last edited:

mỳ gói

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
28 Tháng mười 2017
3,580
6,003
694
Tuyên Quang
THPT NTT
hpt: $y = 0$ thì 3 pt đều suy ra $x = 0$ hoặc $z = 0$, tương tự suy ra $(0,0,k)$ là một nghiệm của hpt
Xét $x, y, z \ne 0$ thì pt 1 $\iff \left( \dfrac1y + \dfrac1z \right)^2 = 3 + \dfrac1x + \dfrac1{x^2}$
$\iff \left( \dfrac1y + \dfrac1z \right)^2 = \dfrac{11}4 + \left( \dfrac1x + \dfrac12 \right)^2$
$\iff \left( -\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z - \dfrac12 \right)\left( \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z + \dfrac12 \right) = \dfrac{11}4$
Tương tự với các pt còn lại rồi bạn chia mỗi pt cho nhau nhé, sẽ ra hệ bậc 1

pt: $\sqrt{-4(x^2y - 2)^2 + 25} - \sqrt{x^2y^2 - 2y^2} = 2(x^2 + \dfrac1{x^2})$. ĐK căn thứ hai: $x \geqslant \sqrt{2}$ (do $x > 0$)
Ta có $VP = VT \leqslant 5$
$\implies 2x^4 + 2 \leqslant 5x^2$
$\implies \dfrac{\sqrt{2}}2 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}$. Kết hợp điều kiện suy ra $x = \sqrt{2}$. Từ đó suy ra $y = 1$
Cho em hỏi . Nếu y=0 thì có cần đk x đâu ?
Vậy lập luận sao cho phải ạ ?
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Cho em hỏi . Nếu y=0 thì có cần đk x đâu ?
Vậy lập luận sao cho phải ạ ?
Xin lỗi nhé :D Ban đầu mình có ghi thêm dòng xét $y = 0$ mà chả hiểu sao xóa mất
Nếu $y = 0$ thì $VT = 3 < 4 \leqslant 2(x^2 + \dfrac1{x^2})$ theo bđt Cô-si, xét $y \ne 0$ thôi nhé
 
  • Like
Reactions: Linh Junpeikuraki
Top Bottom