Toán 12 Sốphức - Ứng dụng số phức

[doigiaythuytinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phần I : SỐ PHỨC

Các dạng bài tập: Xác định số phức, tính toán, chứng minh, biểu diễn hình học của số phức, dạng lượng giác, phương trình, hệ phương trình

Cơ bản

Bài 1: Tính

1) [TEX]A = (\frac{i}{1+i})^{2010}[/TEX]

2) [TEX]B = (\frac{1+i}{1-i})^{33} + (1-i)^{20} + (4-3i)(4+3i) + \frac{1}{i^7}[/TEX]

3) [TEX] C = 1 + (1+i) + (1+i)^2+ ... + (1+i)^{2010}[/TEX]

4) [TEX]\Large D = \frac{i^5 + i^7 + i^9 + ... + i^{2011}}{i^4 +i^5 + i^6 + ...+ i^{2012}}[/TEX]

5) [TEX] E = 2 i^{10} + i^3[/TEX]

6) [TEX] F = i^{2007} + i^{2008}[/TEX]

Bài 2: Cho n số phức [TEX]z_1; z_2; z_3...., z_n [/TEX] bất kì. Chứng minh:

1) [TEX]\overline{z_1 +z_2 +z_3 + ...+ z_n} = \overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} + ... +\overline{z_n}[/TEX]

2) [TEX] \overline{z_1. z_2. z_3.....z_n} = \overline{z_1}. \overline{z_2}.....\overline{z_n}[/TEX]

3) [TEX] |z_1| - z|2[/TEX] \leq [TEX]| z_1 +z_2 |[/TEX] \leq [TEX]|z_1| + |z_2|[/TEX]

4) [TEX] |z_1| -|z_2|[/TEX] \leq [TEX] |z_1 -z_2|[/TEX] \leq [TEX] |z_1| +|z_2|[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 1: Tính

1) [TEX]A = (\frac{i}{1+i})^{2010}[/TEX]

[TEX]\Large \frac{i}{1+i} = i.( \frac12 - \frac12 i) = \frac12 + \frac12i \\ A = (\frac12 + \frac12 . i )^{2010} = (\frac12 i )^{1005} = \frac{1}{2^{1005}} . (-1)^{502} . i = \frac{i}{2^{1005}} [/TEX]

2) [TEX]B = (\frac{1+i}{1-i})^{33} + (1-i)^{20} + (4-3i)(4+3i) + \frac{1}{i^7}[/TEX]

[TEX]\Large \left{ \frac{1+i}{1-i} = (1+i)(\frac12 + \frac12 i) = i \Rightarrow \(\frac{1+i}{1-i}\)^{33} = i^{33} = i \\ (1-i)^{20} = (-2i)^{10}=-2^{10} \\ (4-3i)(4+3i) = 25 \\ \frac{1}{i^7} = i [/TEX]

3) [TEX] C = 1 + (1+i) + (1+i)^2+ ... + (1+i)^{2010}[/TEX]

[TEX]\Large C = \frac{(1+i)^{2011} -1}{i} = ( 2^{1005} (1+i)i -1)(-i) = 2^{1005} (1+i) + i = 2^{1005} +(2^{1005}+1)i [/TEX]

4) [TEX]\Large D = \frac{i^5 + i^7 + i^9 + ... + i^{2011}}{i^4 +i^5 + i^6 + ...+ i^{2012}}[/TEX]

[TEX]\Large D = \frac{ \frac{i^5( 1 - i^{2007} )}{1-i} }{\frac{i^4( 1 - i^{2009} )}{1-i} } = \frac{i (1 + i)}{1-i} = \frac{i-1}{1-i} = - 1[/TEX]

E = 2 i^{10} + i^3

[TEX]E = -2 - i [/TEX]

6) [TEX] F = i^{2007} + i^{2008}[/TEX]

[TEX]F = 1 - i [/TEX]

 

[qhoang1993]

[TEX]z^3+8=0[/TEX] cái này giải sao vậy , chỉ mình cái.........

 

[doigiaythuytinh]

[TEX]z^3 + 8 =0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX] (z+2) (z^2- 2z + 4) =0[/TEX]

[TEX]z + 2=0[/TEX] \Rightarrow [TEX]z =-2[/TEX]

[TEX]z^2 -2z+4 =0[/TEX] \Rightarrow [TEX]z = 1-\sqrt{3}i \ \ or \ \ z= 1+\sqrt{3}i [/TEX]

 

[duynhan1]

1) [TEX]\overline{z_1 +z_2 +z_3 + ...+ z_n} = \overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} + ... +\overline{z_n}[/TEX]

[TEX]Dat:\ z_i( a_i; b_i) \ ( i = 1 \to n) [/TEX]

[TEX]\overline{z_1 +z_2 +z_3 + ...+ z_n}\\ = \overline{z} (voi\ z=\sum_{i=1}^{n} a_i + \ \ \ \( \sum_{i=1}^{n} b_i \) i ) \\ = \sum_{i=1}^{n} a_i -\( \sum_{i=1}^{n} b_i \) i [/TEX]

[TEX]\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} + ... +\overline{z_n} = \sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i . i )= \sum_{i=1}^{n} a_i -\( \sum_{i=1}^{n} b_i \) i [/TEX]
(dpcm)

2) [TEX] \overline{z_1. z_2. z_3.....z_n} = \overline{z_1}. \overline{z_2}.....\overline{z_n} (*)[/TEX]

Với n=1 ta có : [TEX]\overline{z_1} = \overline{z_1} [/TEX]
Với n=2 ta có : [TEX]z_1.z_2 = a_1.a_2 - b_1.b_2 + (a_1b_2+a_2b_1) i [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \overline{z_1.z_2} =a_1.a_2 - b_1.b_2 - (a_1b_2+a_2b_1) i [/TEX]
Mà [TEX]\overline{z_1}.\overline{z_2} = a_1.a_2 - b_1. b_2 - ( a_1.a_2 + b_1.b_2) i [/TEX]
[TEX]\Rightarrow\overline{z_1.z_2} = \overline{z_1}. \overline{z_2} [/TEX]

Giả sử [TEX](*)[/TEX] đúng với [TEX]n=k[/TEX].

Ta cần chứng minh CT đúng với [TEX]n=k+1[/TEX]. Tức là :

[TEX]\overline{\prod_{i=1}^{k+1}z_i} =\prod_{i=1}^{n} \overline{z_i}[/TEX]

Do CT đúng với n=2 nên ta có :
[TEX] \overline{\prod_{i=1}^{k+1}z_i} = \overline{\prod_{i=1}^{k}z_k}. \overline{z_{k+1}} =\prod_{i=1}^{n} \overline{z_i}(theo\ gia\ thiet\ quy\ nap)[/TEX]
Vậy CT đúng với mọi [TEX]n \in N*[/TEX]

3) [TEX] |z_1| - |z_2|[/TEX] \leq [TEX]| z_1 +z_2 |[/TEX] \leq [TEX]|z_1| + |z_2|[/TEX]

[TEX]\fbox{ \Huge \red z.\overline{z}= |z|^2 }[/TEX]

[TEX]\fbox{ \Huge \red z+\overline{z} = 2a \le 2.\sqrt{a^2+b^2} = 2|z|}[/TEX]

[TEX]|z_1+z_2|^2 = ( z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2}) = (z_1+z_2)( \overline{z_1}+ \overline{z_2}) \\ = z_1^2 + z_2^2 + z_1.\overline{z_2} + z_2.\overline{z_1} =z_1^2+z_2^2 + z_1.\overline{z_2} + \overline{z_1.\overline{z_2}}\\ \le z_1^2+z_2^2 + 2|z_1.\overline{z_2}| \\ = (|z_1|+|z_2|)^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \huge \fbox{|z_1+z_2| \le |z_1| + |z_2|} [/TEX]

Áp dụng BDT trên ta có :

[TEX]|z_1| = |z_1+z_2+ (-z_2)| \le |z_1+z_2| + |-z_2| [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |z_1| - |z_2| \le |z_1|+|z_2| [/TEX]

[TEX](1') \Leftrightarrow [/TEX]

4) [TEX] |z_1| -|z_2|[/TEX] \leq [TEX] |z_1 -z_2|[/TEX] \leq [TEX] |z_1| +|z_2|[/TEX]

[TEX]\Huge \red \fbox{ |z| = |-z| }[/TEX]

Thay [TEX]z_2[/TEX] bởi [TEX]{-z_2}[/TEX] vào bài 3 ta có điều phải chứng minh

 

[doigiaythuytinh]

Bài 2: Chứng minh

1) Số phức [TEX]w=\frac{1-z}{1+z}[/TEX] là số thuần ảo khi và chỉ khi [TEX]|z| = 1[/TEX]

2) Cho [TEX]z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} [/TEX] và [TEX]|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1[/TEX]
Chứng minh: [TEX]| z_1 + z_2 + z_3| = |z_1.z_2 + z_2.z_3 +z_1.z_3|[/TEX]

3) Cho [TEX]z_1, z_2 \in \mathbb{C}[/TEX]. Chứng minh: [TEX]|z_1| = |z_2|[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2}[/TEX]

Bài 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau:

1) [TEX]|z - i | = | \overline{z} - 2 + 3i |[/TEX]

2) [TEX]| z + 2i | + | z - 2i | = 8[/TEX]

3) [TEX]z = (1 - 2i)w + 3 [/TEX] với [TEX]w \in \mathbb{C} and |w - 2 | \leq \sqrt{3}[/TEX]

4) [TEX]\frac{ z + i}{ z - i }[/TEX] là một số thực

5) [TEX]\frac{z + i}{\overline{z} + i}[/TEX] là số thực dương

6) [TEX]\frac{|z-a|}{|z-b|} = m[/TEX] với [TEX]a khac' b, m>0[/TEX] (em ko biết bài này )

 

[mercury264]

hộ tớ bạn ơi![TEX]z^4+1=0[/TEX] dễ mà tớ mới học nên chưa biết tính

 

[vivietnam]

hộ tớ bạn ơi![TEX]z^4+1=0[/TEX] dễ mà tớ mới học nên chưa biết tính

C1: [TEX]\Leftrightarrow z^4-i^2=0\Leftrightarrow(z^2-i)(z^2+i)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left[\begin{z^2-i=0}\\{z^2+i = 0} [/TEX]
+[TEX]z^2-i=0[/TEX]
[TEX]dat z=a+bi(a,b \in R)\Rightarrow a^2-b^2+2abi-i=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\left{\begin{a^2-b^2=0}\\{2ab=1} [/TEX]
\Rightarrowa,b
+[TEX]z^2+i=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\left{\begin{a^2-b^2=0}\\{2ab=-1} [/TEX]
\Rightarrowa,b
[TEX]phuong trinh co 4 nghiem[/TEX]
C2:[TEX]z^4=-1=cos\pi+isin\pi[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z=cos(\frac{\pi+k2\pi}{4})+isin(\frac{\pi+k2\pi}{4}) voi k=0,1,2,3[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 2: Chứng minh

1) Số phức [TEX]w=\frac{1-z}{1+z}[/TEX] là số thuần ảo khi và chỉ khi [TEX]|z| = 1[/TEX]

[TEX]z = a+ bi[/TEX]

[TEX]w+ 1 = 2 . ( \frac{a+1}{(a+1)^2 + b^2} - \frac{b}{(a+1)^2+b^2} i)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow w = \frac{ -a^2 - b^2 + 1}{(a+1)^2+b^2} - \frac{2b}{(a+1)^2+b^2} i [/TEX]

[TEX]w[/TEX] là số thuần ảo [TEX]\Leftrightarrow 1 - a^2 - b^2 = 0 \Leftrightarrow |z| = 1[/TEX]

Bài 2: Chứng minh
2) Cho [TEX] \Large \it z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} [/TEX] và [TEX] \Large \it|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1[/TEX]

Chứng minh: [TEX] \Large | z_1 + z_2 + z_3| = |z_1.z_2 + z_2.z_3 +z_1.z_3|[/TEX]

Từ giả thiết ta có : [TEX] \Large \it z_1 . \overline{z_1} = z_2 . \overline{z_2} = z_3 . \overline{z_3} = 1[/TEX]

[TEX] \Large (ycbt) | z_1 + z_2 + z_3|^2 = |z_1.z_2 + z_2.z_3 +z_1.z_3|^2 [/TEX]

Mà ta có :
[TEX] \Large| z_1 + z_2 + z_3|^2 \\ = ( z_1+z_2+z_3)(\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} ) \\ = 3 + \sum_{i \not= j=1}^{3} z_i. \overline{z_j} \ \ \ \ \ \ (*) [/TEX]

[TEX] \Large |z_1.z_2 + z_2.z_3 +z_1.z_3|^2 \\ =(z_1.z_2 + z_2.z_3 +z_1.z_3)(\overline{z_1.z_2} + \overline{z_2.z_3 } +\overline{z_1.z_3} ) \\ = 3 + \sum_{i \not= j=1}^{3} z_i. \overline{z_j} \ \ \ \ \ \ (*)(*) [/TEX]

Từ (*)&(*)(*) ta có điều phải chứng minh.

Bài 2: Chứng minh

3) Cho [TEX]z_1, z_2 \in \mathbb{C}[/TEX]. Chứng minh: [TEX]|z_1| = |z_2| [/TEX] \Leftrightarrow [TEX]A = \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2}[/TEX] là số thuần ảo

Đoán đề )

[TEX]|z_1| = |z_2| \Leftrightarrow z_1. \overline{z_1} = z_2. \overline{z_2} \Leftrightarrow \frac{z_1}{z_2} = \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_1}} [/TEX]
[TEX]\huge A = \frac{ \frac{z_1}{z_2} +1 }{ \frac{z_1}{z_2}-1} = \frac{ \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} +1 }{ \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}-1 } = \frac{\overline{z_1} + \overline{z_2}}{\overline{z_2} - \overline{z_1}} = - \overline{A} [/TEX]

[TEX]\Large \Leftrightarrow A \text{ la so thuan ao}[/TEX]

Bài 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau:
1) [TEX]|z - i | = | \overline{z} - 2 + 3i |[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow |z-i| = | z - 2 - 3i |(1) [/TEX]
[TEX]A(0;1) \\ B ( 2; 3) [/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow MA = MB [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow M [/TEX] là trung trực của AB.

2) [TEX]| z + 2i | + | z - 2i | = 8[/TEX]

[TEX]A(0;-2) \\ B ( 0;2) [/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow MA + MB = 8[/TEX]

Tập hợp điểm M là đường elip với A,B là 2 tiêu điểm với độ dài trục lớn là 8

Elip học lâu rồi nên quên

 

[doigiaythuytinh]

Ứng dụng sp

Tính:
[TEX]C_n = cos^2 x + cos^2 {2x} + ...+ cos^2 {nx}[/TEX]

[TEX]S_n = sin^2 x + sin^ 2{2x} +...+ sin^2 {nx}[/TEX]