Toán 9 Số học

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c sao cho cả 3 số [tex]4a^2+5b;4b^2+5c;4c^2+5a[/tex] đều là bình phương của số nguyên dương.

2,Tự một bộ bốn số thực (a,b,c,d) ta xây dựng bộ số mới [tex](a+b,b+c,c+d,d+a)[/tex] và liên tiếp xây dựng các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau, ta thu được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng [tex](a,-a,a,-a)[/tex]

@Mộc Nhãn Help me!!!!

 

[7 1 2 5]

1. Giả sử [imath]a=max\left \{ a;b;c \right \}[/imath]

Khi đó [imath]4a^2< 4a^2+5b \leq 4a^2+5b< (2a+2)^2\Rightarrow 4a^2+5b=(2a+1)^2\Rightarrow 5b=4a+1[/imath]
Từ đó nếu ta đặt [imath]b=4k+1\Rightarrow a=5k+1[/imath]
Từ đó ta chỉ cần tìm c,k sao cho [imath](8k+2)^2+5c,4c^2+25a+5[/imath] là số chính phương.
Xét 2 trường hợp:
+ [imath]k \geq c[/imath]. Ta sẽ kẹp số [imath](8k+2)^2+5c \leq (8k+2)^2+5k[/imath] giữa 2 số chính phương.
+ [imath]k<c[/imath]. Ta sẽ kẹp số [imath]4c^2+25k+5 < 4c^2+25c+5[/imath] giữa 2 số chính phương.

2. Gọi bộ số sau khi biến đổi n lần là [imath](a_n,b_n,c_n,d_n)[/imath].
Khi đó xét [imath]S_n=a_n+b_n+c_n+d_n[/imath] và [imath]P_n=a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2[/imath]
Ta có: [imath]S_{n+1}=2S_n;P_{n+1}=2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)+2(a_n+c_n)(b_n+d_n)=2P_n+2(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}+d_{n-1}))(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}+d_{n-1})=2P_n+2S_{n-1}^2[/imath]
Vì tồn tại 2 thời điểm mà có cùng một bộ nên tồn tại [imath]i>j[/imath] sao cho [imath]S_i=S_j[/imath]
Mà [imath]S_{i}=2S_{i-1}=...=2^{i-j}S_{j}\Rightarrow S_i=0\forall i\in \mathbb{N}[/imath]
Từ đó [imath]P_{n+1}=2P_n[/imath]. Tương tự ta có [imath]P_i=0 \forall i\in \mathbb{N}[/imath]
Từ đó [imath]a_n=b_n=c_n=d_n=0[/imath]. Nên sau khi biến đổi 1 lần thì ta có bộ [imath](0,0,0,0)[/imath]. Dễ thấy bộ số trước khi biến đổi có dạng [imath](a,-a,a,-a)[/imath]