PT lượng giác

[nguyenthitramy93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\sqrt[4]{\frac{1}{2}-cos2x}+\sqrt[4]{\frac{1}{2}+cos2x}=1[/TEX]

 

[valdes]

[TEX]\sqrt[4]{\frac{1}{2}-cos2x}+\sqrt[4]{\frac{1}{2}+cos2x}=1[/TEX]

Đặt [TEX]\sqrt[4]{\frac{1}{2}-cosx2x} = a; \sqrt[4]{\frac{1}{2}+cos2x} = b[/TEX] ta có hệ [tex]\left\{ \begin{array}{l} a + b = 1 \\ a^4 + b^4 = 1 \end{array} \right.[/tex]
Xét phương trình a + b =1. bình phương lần 1 \Rightarrow [TEX]a^2 + b^2 = 1-2ab[/TEX]. Bình phương lần 2, với điều kiện [TEX]ab \leq \frac{1}{2}[/TEX] biến đổi \Rightarrow [TEX]a^2b^2 - 2ab = 0[/TEX] \Rightarrow [TEX]ab = 0[/TEX] \Rightarrow ......

 

[duynhan1]

[TEX]\sqrt[4]{\frac{1}{2}-cos2x}+\sqrt[4]{\frac{1}{2}+cos2x}=1[/TEX]

[TEX]\left{ a^4 + b^4 = 1 (1) \\ a+ b = 1 (2) [/TEX]
[TEX](1)\Rightarrow a;b \in [-1;1] \\ (2) \Rightarrow a;b \in [0;1][/TEX]

Từ đó ta có :
[TEX]a(1-a^3) + b(1-b^3)\ge 0 \Leftrightarrow a+b \ge a^4 + b^4[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left[ \left{ a= 0 \\ b = 1 \right. \\ \left{ a= 1 \\ b = 0 \right. [/TEX]

Như vậy ta có thể tổng quát hóa bài toán trên.
Với n chẵn, giải phương trình :
[TEX]\sqrt[n]{\frac{1}{2}-cos2x}+\sqrt[n]{\frac{1}{2}+cos2x}=1[/TEX]

 

[connguoivietnam]

[TEX]\sqrt[4]{\frac{1}{2}-cos2x}+\sqrt[4]{\frac{1}{2}+cos2x}=1[/TEX]

đặt [TEX]\sqrt[4]{\frac{1}{2}-cos2x}=u[/TEX] [TEX]\Rightarrow u^4=\frac{1}{2}-cos2x[/TEX]

[TEX]\sqrt[4]{\frac{1}{2}+cos2x}=v[/TEX] [TEX]\Rightarrow v^4=\frac{1}{2}+cos2x[/TEX]

[TEX]u+v=1[/TEX]

mà [TEX]\frac{1}{2}-u^4=v^4-\frac{1}{2}[/TEX]

ta có hệ

[TEX]u^4+v^4=1[/TEX]
[TEX]u+v=1[/TEX]

[TEX]uv=0[/TEX] và [TEX]uv=1[/TEX]

giải ra u và v thay lại tìm x là xong