Thay [imath](a,b,c)=(x,x,-2x)[/imath] với [imath]x \in \mathbb{R}[/imath] ta có:
[imath]2P^2(x)+P^2(-2x)=2P^2(x)+4P(x)P(-2x)[/imath]
[imath]\Rightarrow P(-2x)[P(-2x)-4P(x)]=0[/imath]
[imath]\Rightarrow \left[\begin{array}{l} P(-2x)=0 \\ P(-2x)=4P(x) \end{array}\right. \forall x \in \mathbb{R}[/imath]
Mà [imath]P(x)[/imath] là đa thức nên [imath]\left[\begin{array}{l} P(-2x)=0 \forall x \in \mathbb{R} \\ P(-2x)=4P(x) \forall x \in \mathbb{R} \end{array}\right.[/imath]
Nếu [imath]P(-2x)=0 \forall x \in \mathbb{R}[/imath] ta được [imath]P(x) \equiv 0[/imath].
Nếu [imath]P(-2x)=4P(x) \forall x \in \mathbb{R}[/imath]. Đặt [imath]\deg P=n \in \mathbb{Z},P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0[/imath] với [imath]a_n \neq 0[/imath]
Cân bằng hệ số bậc cao nhất của cả [imath]2[/imath] vế ta được [imath]a_n(-2)^n=4a_n \Rightarrow n=2[/imath]
Thay [imath]x=0[/imath] vào hệ thức trên ta được [imath]P(0)=0[/imath]
Đặt [imath]P(x)=ax^2+bx[/imath] thì từ hệ thức trên ta có [imath]a(-2x)^2+b(-2x)=4(ax^2+bx)[/imath]
[imath]\Rightarrow -2bx=4bx \Rightarrow b=0 \Rightarrow P(x)=ax^2[/imath]. Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy tất cả các đa thức thỏa mãn đề bài là [imath]P(x)=ax^2[/imath] với [imath]a \in \mathbb{R}[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
