1)
[tex]=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x.(1-sin^{2}2x)}{sin2x+1} dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x(1-sin2x)(1+sin2x)}{1+sin2x} dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(cos2x-cos2x.sin2x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(cos2x-\frac{1}{2}sin4x)dx=(\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{8}cos4x)_{|_{0}^{\frac{\pi }{4}}}.....[/tex]
2)
[tex]\int_{1}^{2}f'(x)dx=f(2)-f(1)=\frac{7}{15}[/tex]
[tex]\frac{1}{125}\int_{1}^{2}x^{2}dx=\frac{7}{375}[/tex]
áp dụng bđt cosi cho 3 số dương
[tex]\frac{7}{125}=\int_{1}^{2}\frac{f'^{3}(x)}{x^{4}}dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{125}x^{2}dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{125}x^{2}dx\geq \int_{1}^{2}3\sqrt[3]{\frac{f'^{3}x}{x^{4}}.\frac{x^{2}}{125}.\frac{x^{2}}{125}} dx=\int_{1}^{2}3.\frac{1}{25}f'(x)dx=\frac{3}{25}\int_{1}^{2}f'(x)dx=\frac{3}{25}.\frac{7}{15}=\frac{7}{125}[/tex] 2 vế của bđt đều =7/125.
có nghĩa là bđt dấu bằng xẩy ra [tex]\frac{f'^{3}(x)}{x^{4}}=\frac{1}{125}x^{2}\Leftrightarrow f'(x)=\frac{x^{2}}{5}\Rightarrow f(x)=\frac{x^{3}}{15}+C[/tex]
từ f(1)=1 tìm ra C=14/15. thay vào tìm [tex]\int_{1}^{2}f(x)dx=71/60[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
