- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chào các bạn lớp 12. Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số chiếm một phần không nhỏ trong đề thi THPTQG. Những dạng bài tập được ra cũng có thể sử dụng lại kiến thức của phương pháp tọa độ mặt phẳng đã học từ lớp 10. Sau đây mình sẽ chia sẻ một số kiến thức cùng bài tập cơ bản có thể gặp phải đi kèm để các bạn có thể xem. Nếu bài nào ở dưới đây mà bạn thấy đúng là cái mình đã quên, thì hãy mở vở và ghi lại, đừng đọc lướt rồi bỏ qua, vì làm vậy ít hôm nữa bạn sẽ quên rất nhanh.
1) Điều kiện để 2 điểm nằm cùng phía, khác phía với một đường thẳng bất kì trong mp Oxy.
Với 1 đường thẳng d:y=ax+b<=>ax-y+b=0 (1)cho trước, việc xét vị trí tương quan của A(x1;y1) và B(x2;y2) với d được làm như sau:
Xét tích : P= (ax1-y1+b)(a.x2-y2+b) (là thay đọa độ của A,B vào pt (1). Có 3 trường hợp xảy ra:
* Nếu P>0 thì A và B cùng phía với d.
*Nếu P<0 thì A B khác phía với d.
* Nếu P=0 thì A hoặc B hoặc cả A B thuộc d.
**Ví dụ: Tìm m để hàm số [tex]y=m\frac{x^3}{3}+\frac{mx^2}{2}+4x+1[/tex](1) có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng d:y=x+1.
Lời giải: [tex]y'=mx^2+mx+4[/tex](2)
Để hàm số có CĐ, CT thì [tex]\Delta > 0<=>m^2-16m>0[/tex]
Gọi A(x1;y1) B(x2;y2) là 2 điểm cực trị thì x1 x2 là 2 nghiệm của pt (2).
Để A B cùng phía với d:x-y+1=0 thì ta phải có: [tex](x_{1}-y_{1}+1)(x_{2}-y_{2}+1)>0[/tex].
Ý tưởng áp dụng Vi-ét đã rất rõ ràng. Tuy nhiên, nếu ta tính y1; y2 theo x1, x2 nhờ thay x1 x2 vào pt (1) thì sẽ là tích của 2 hàm bậc 3, nhân phá ra rất là dài. Vì vậy ta phải tìm đến các làm khác nhanh hơn. Đó là: tìm được đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A và B. Lúc đó y1 y2 biểu diễn qua x1 x2 chỉ là hàm bậc nhất, dễ làm hơn nhiều.
Pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị có thể được tính bằng thực hiện phép chia đa thức [tex]\frac{y}{y'}[/tex] lấy phần dư(đây là kiến thức quan trọng với hàm bậc 3 bạn cần nhớ).
Ở ví dụ này thì nó là :
[tex]\frac{m\frac{x^3}{3}+\frac{mx^2}{2}+4x+1}{mx^2+mx+4}[/tex]
Đặt chia ra thức ta được số dư là : [tex](\frac{8}{3}-\frac{m}{6})x+\frac{1}{3}[/tex]
Vậy pt đt qua A và B là y=[tex](\frac{8}{3}-\frac{m}{6})x+\frac{1}{3}[/tex]
Tới đây ta có thể tính y1 y2 theo x1 x2 và áp dụng Vi-ét để giải quyết bài toán.
2) Tìm tọa độ trong tâm của tam giác ABC với A,B,C đã biết tọa độ
Với 3 điểm A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) thì tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính:
[tex]x_{G}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}; y_{G}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}[/tex]
** Ví dụ: Tìm m để hàm số [tex]y=x^4-2x^2+m+2[/tex] có 3 điểm cực trị A,B,C thỏa mãn O(0;0) là trọng tâm của tam giác ABC.
Lời giải:
[tex]y'=4x^3-4x;y'=0<=>x=0;x=1;x=-1[/tex]
=>A(-1;m+1); B(0;m+2) ; C(1;m+1)
Đến đây dựa vào công thức ở trên ta có thể tính ra được [tex]m=\frac{-4}{3}[/tex] sẽ là giá trị thỏa mãn.
3) Tìm điều kiện m để hàm số có 3 cực trị A,B,C thỏa mãn tam giác ABC có 1 góc bằng số đo cho trước.
** Ví dụ: Tìm m để hàm số [tex]y=x^4-2mx^2+m+2[/tex] có 3 điểm cực trị A,B,C thỏa mãn tam giác ABC có 1 góc bằng 120 độ.
**Lời giải: .
Cách 1: thông thường.
[tex]y'=4x^3-4mx;y'=0<=>x=0;x=-\sqrt{m};x=\sqrt{m}[/tex] (ĐK: m>0)
=> A([tex]-\sqrt{m};-m^2+m+2);B(0;m+2);C(\sqrt{m};-m^2+m+2)[/tex]
Tam giác ABC cân tại B( tính chất đặc trưng của hàm trùng phương), do vậy góc 120 độ phải là góc ABC.
Hay BA,BC phải tạo với nhau 1 góc 120 độ. Như vậy ta có thể nghĩ đến công thức :
[tex]cos(\widehat{ABC})=cos 120=\frac{-1}{2}=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}[/tex]
Đến đây có thể thay tọa độ vào tìm m. Nhưng rõ ràng nó vô cùng cồng kềnh, vậy nên cách này không áp dụng được cho bài này rồi.
Cách 2: dùng tư duy lượng giác
Gọi H là trung điểm AC. Rõ ràng rằng AH và CH rất dễ tính khoảng cách nên ta có thể sử dụng : [tex]tan \widehat{HBC}=tan60 = \sqrt{3}=\frac{HC}{HB}=\frac{\sqrt{m}}{(m+2)-(-m^2+m+2)}=\frac{\sqrt{m}}{m^2}[/tex]
Phương trình này có thể giải m dễ hơn rất nhiều rồi. Vậy nếu chúng ta có những kiến thức cơ bản thì có thể tìm được những cách giải quyết bài toán nhanh nhất.
Chắc các bạn lớp 12 đều đã thi xong kì thi học kì. Vậy nếu còn gì thắc mắc ở đề thi mà chưa được giải đáp các bạn có thể comment vào đây nhé. Chúc các bạn học tốt!
1) Điều kiện để 2 điểm nằm cùng phía, khác phía với một đường thẳng bất kì trong mp Oxy.
Với 1 đường thẳng d:y=ax+b<=>ax-y+b=0 (1)cho trước, việc xét vị trí tương quan của A(x1;y1) và B(x2;y2) với d được làm như sau:
Xét tích : P= (ax1-y1+b)(a.x2-y2+b) (là thay đọa độ của A,B vào pt (1). Có 3 trường hợp xảy ra:
* Nếu P>0 thì A và B cùng phía với d.
*Nếu P<0 thì A B khác phía với d.
* Nếu P=0 thì A hoặc B hoặc cả A B thuộc d.
**Ví dụ: Tìm m để hàm số [tex]y=m\frac{x^3}{3}+\frac{mx^2}{2}+4x+1[/tex](1) có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng d:y=x+1.
Lời giải: [tex]y'=mx^2+mx+4[/tex](2)
Để hàm số có CĐ, CT thì [tex]\Delta > 0<=>m^2-16m>0[/tex]
Gọi A(x1;y1) B(x2;y2) là 2 điểm cực trị thì x1 x2 là 2 nghiệm của pt (2).
Để A B cùng phía với d:x-y+1=0 thì ta phải có: [tex](x_{1}-y_{1}+1)(x_{2}-y_{2}+1)>0[/tex].
Ý tưởng áp dụng Vi-ét đã rất rõ ràng. Tuy nhiên, nếu ta tính y1; y2 theo x1, x2 nhờ thay x1 x2 vào pt (1) thì sẽ là tích của 2 hàm bậc 3, nhân phá ra rất là dài. Vì vậy ta phải tìm đến các làm khác nhanh hơn. Đó là: tìm được đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A và B. Lúc đó y1 y2 biểu diễn qua x1 x2 chỉ là hàm bậc nhất, dễ làm hơn nhiều.
Pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị có thể được tính bằng thực hiện phép chia đa thức [tex]\frac{y}{y'}[/tex] lấy phần dư(đây là kiến thức quan trọng với hàm bậc 3 bạn cần nhớ).
Ở ví dụ này thì nó là :
[tex]\frac{m\frac{x^3}{3}+\frac{mx^2}{2}+4x+1}{mx^2+mx+4}[/tex]
Đặt chia ra thức ta được số dư là : [tex](\frac{8}{3}-\frac{m}{6})x+\frac{1}{3}[/tex]
Vậy pt đt qua A và B là y=[tex](\frac{8}{3}-\frac{m}{6})x+\frac{1}{3}[/tex]
Tới đây ta có thể tính y1 y2 theo x1 x2 và áp dụng Vi-ét để giải quyết bài toán.
2) Tìm tọa độ trong tâm của tam giác ABC với A,B,C đã biết tọa độ
Với 3 điểm A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) thì tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính:
[tex]x_{G}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}; y_{G}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}[/tex]
** Ví dụ: Tìm m để hàm số [tex]y=x^4-2x^2+m+2[/tex] có 3 điểm cực trị A,B,C thỏa mãn O(0;0) là trọng tâm của tam giác ABC.
Lời giải:
[tex]y'=4x^3-4x;y'=0<=>x=0;x=1;x=-1[/tex]
=>A(-1;m+1); B(0;m+2) ; C(1;m+1)
Đến đây dựa vào công thức ở trên ta có thể tính ra được [tex]m=\frac{-4}{3}[/tex] sẽ là giá trị thỏa mãn.
3) Tìm điều kiện m để hàm số có 3 cực trị A,B,C thỏa mãn tam giác ABC có 1 góc bằng số đo cho trước.
** Ví dụ: Tìm m để hàm số [tex]y=x^4-2mx^2+m+2[/tex] có 3 điểm cực trị A,B,C thỏa mãn tam giác ABC có 1 góc bằng 120 độ.
**Lời giải: .
Cách 1: thông thường.
[tex]y'=4x^3-4mx;y'=0<=>x=0;x=-\sqrt{m};x=\sqrt{m}[/tex] (ĐK: m>0)
=> A([tex]-\sqrt{m};-m^2+m+2);B(0;m+2);C(\sqrt{m};-m^2+m+2)[/tex]
Tam giác ABC cân tại B( tính chất đặc trưng của hàm trùng phương), do vậy góc 120 độ phải là góc ABC.
Hay BA,BC phải tạo với nhau 1 góc 120 độ. Như vậy ta có thể nghĩ đến công thức :
[tex]cos(\widehat{ABC})=cos 120=\frac{-1}{2}=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}[/tex]
Đến đây có thể thay tọa độ vào tìm m. Nhưng rõ ràng nó vô cùng cồng kềnh, vậy nên cách này không áp dụng được cho bài này rồi.
Cách 2: dùng tư duy lượng giác
Gọi H là trung điểm AC. Rõ ràng rằng AH và CH rất dễ tính khoảng cách nên ta có thể sử dụng : [tex]tan \widehat{HBC}=tan60 = \sqrt{3}=\frac{HC}{HB}=\frac{\sqrt{m}}{(m+2)-(-m^2+m+2)}=\frac{\sqrt{m}}{m^2}[/tex]
Phương trình này có thể giải m dễ hơn rất nhiều rồi. Vậy nếu chúng ta có những kiến thức cơ bản thì có thể tìm được những cách giải quyết bài toán nhanh nhất.
Chắc các bạn lớp 12 đều đã thi xong kì thi học kì. Vậy nếu còn gì thắc mắc ở đề thi mà chưa được giải đáp các bạn có thể comment vào đây nhé. Chúc các bạn học tốt!
