Toán Một số bài toán căn thức hay

[thuanst012vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho [tex]A=a\sqrt{a}+\sqrt{ab} , B=b\sqrt{b}+\sqrt{ab} (a,b>0)[/tex]

Chứng minh rằng nếu [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex] và [tex]\sqrt{ab}[/tex] là những số hữu tỉ thì tổng A+B và tích A.B cũng là những số hữu tỉ.
2) Tính giá trị của biểu thức sau:

[tex]B=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}+\frac{2x^{2}}{\sqrt{x}}+y\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}+\frac{3\sqrt{xy}-3y}{x-y}[/tex] tại x=1997; y=30303
(Thu gọn rồi tính nha)
3) Cho a>0, b tùy ý và [tex]x=\frac{2ab}{b^{2}+2}[/tex] . Chứng minh rằng:
[tex]E=\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}[/tex]= b nếu [tex]|b|\leq 1[/tex] ;=[tex]\frac{1}{b}[/tex] nếu [tex]|b|\geq 1[/tex]
4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[tex]A=\frac{xy\sqrt{z-5}+xz\sqrt{y-4}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}[/tex]
(Hướng dẫn giúp mình với, mình cảm ơn trước)

 

[leminhnghia1]

4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[tex]A=\frac{xy\sqrt{z-5}+xz\sqrt{y-4}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}[/tex]
(Hướng dẫn giúp mình với, mình cảm ơn trước)

$A=\dfrac{\sqrt{z-5}}{z}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}+\dfrac{\sqrt{x-3}}{x}$
Ta có: $\dfrac{\sqrt{z-5}}{z}=\dfrac{5(z-5)}{z\sqrt{5}} \leq \dfrac{z}{2z\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2\sqrt{5}}$
TT: $\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{\sqrt{4(y-4)}}{2y} \leq \dfrac{y}{4y}=\dfrac{1}{4}$
TT: $\dfrac{\sqrt{x-3}}{x} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

$\rightarrow A \leq \dfrac{1}{2\sqrt{5}}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$
Dấu "=" $\iff x=3;y=4;z=5$
1, $A+B=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3-3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})+2\sqrt{ab}$ là số hữu tỉ
$AB=(a\sqrt{a}+\sqrt{ab})(b\sqrt{b}+\sqrt{ab})=ab\sqrt{ab}+\sqrt{ab}(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})+ab$
$=ab\sqrt{ab}+\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3-3ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})+ab$ là số hữu tỉ