mọi người cùng giải ,mk cần gấp lém

[mrsimper]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hình chữ nhật ABCD,M,N,P,Q là các đỉnh của tứ giác và M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,AD.Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ .Khi đó tứ giác MNPQ là hình gì?

 

[thaolovely1412]

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác MAN vuông tại A, ta có :
[TEX]MN^2=AN^2+AM^2\geq \frac{(AM+AN)^2}{2}[/TEX] (BĐT Bunhiacopxki)
\Rightarrow [TEX]MN\geq \sqrt{\frac{(AM+AN)^2}{2}}=\frac{AM+AN}{\sqrt{2}}[/TEX]
Chứng minh tương tự:[TEX] NP\geq \frac{BN+BP}{\sqrt{2}},PQ\geq \frac{PC+CQ}{\sqrt{2}},MQ\geq \frac{DM+DQ}{\sqrt{2}}[/TEX]
Do đó: [TEX]MN+NP+PQ+QM \geq \frac{(AM+DM)+(AN+BN)+(BP+PC)+(CQ+QD)}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow P_{MNPQ} \geq \frac{AD+AB+BC+CD}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2AB\sqrt{2}[/TEX]
Vậy [TEX]Min P_{MNPQ} =2AB\sqrt{2} \Leftrightarrow AN=AM,BN=BP,PC=CQ,DQ=QA [/TEX]\Leftrightarrow MNPQ là hình vuông

 

[mrsimper]

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác MAN vuông tại A, ta có :
[TEX]MN^2=AN^2+AM^2\geq \frac{(AM+AN)^2}{2}[/TEX] (BĐT Bunhiacopxki)
\Rightarrow [TEX]MN\geq \sqrt{\frac{(AM+AN)^2}{2}}=\frac{AM+AN}{\sqrt{2}}[/TEX]
Chứng minh tương tự:[TEX] NP\geq \frac{BN+BP}{\sqrt{2}},PQ\geq \frac{PC+CQ}{\sqrt{2}},MQ\geq \frac{DM+DQ}{\sqrt{2}}[/TEX]
Do đó: [TEX]MN+NP+PQ+QM \geq \frac{(AM+DM)+(AN+BN)+(BP+PC)+(CQ+QD)}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow P_{MNPQ} \geq \frac{AD+AB+BC+CD}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2AB\sqrt{2}[/TEX]
Vậy [TEX]Min P_{MNPQ} =2AB\sqrt{2} \Leftrightarrow AN=AM,BN=BP,PC=CQ,DQ=QA [/TEX]\Leftrightarrow MNPQ là hình vuông

nhưng ABCD là hình chữ nhật,nên AD,AB,BC,CD ko thể bằng nhau \Rightarrow không có 4AB.em giải ra căn 2(AB+CD) và tứ giác MNPQ là hcn