Toán 12 $m=?$ để $2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-6x^2+9x+m).2^{x-2}=2^{x+1}+1$ có 3 nghiệm phân biệt

[Hột lựu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-6x^2+9x+m).2^{x-2}=2^{x+1}+1$ có 3 nghiệm thực phân biệt là khoảng $(a;b)$. Tính $a+b$.
Mọi người giúp em với ạ, em xin cảm ơn :3.
Đáp án trong đề của em là $12$ ạ.

 

[Kaito Kidㅤ]

Mấy bài có dạng như thế này mình cứ ưu tiên thử hàm đặc trưng trước nha bạn:
[tex]2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-6x^2+9x+m).2^{x-2}=2^{x+1}+1\\ \Leftrightarrow 2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+((x-2)^3+m-3x+8).2^{x-2}=2^{x+1}+1 \\\Leftrightarrow 2^{\sqrt[3]{m-3x}}+m-3x=2^{2-x}+(2-x)^3[/tex]
Xét hàm $f(u)=2^u+u^3$
Có: $f'(u)=\ln 2 . 2^u +3u^2 >0$ $\forall x \in \mathbb{R}$
Do đó ta có: $\sqrt[3]{m-3x}=2-x \Leftrightarrow m=(2-x)^3+3x$
Xét hàm $g(x)=(2-x)^3+3x$, khảo sát $g(x)$ trên $\mathbb{R}$ bạn sẽ có $4<m<8$
Vậy là $12$ đó bạn.

 

[Bùi Tấn Phát]

Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-6x^2+9x+m).2^{x-2}=2^{x+1}+1$ có 3 nghiệm thực phân biệt là khoảng $(a;b)$. Tính $a+b$.
Mọi người giúp em với ạ, em xin cảm ơn :3.
Đáp án trong đề của em là $12$ ạ.

$2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-6x^2+9x+m).2^{x-2}=2^{x+1}+1$

$\Leftrightarrow 2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+\left[(x-2)^3+m-3x+8\right].2^{x-2}=2^{x-2}.8+1$

$\Leftrightarrow 2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+\left[(x-2)^3+m-3x\right].2^{x-2}=1$

Đặt $a=x-2$, $b=\sqrt[3]{m-3x}$

$\Rightarrow 2^{a+b}+(a^3-b^3).2^a=1$

$\Leftrightarrow 2^a(2^b+a^3+b^3)=1$

$\Leftrightarrow 2^b+a^3+b^3=2^{-a}$

$\Leftrightarrow 2^b+b^3=2^{-a}+(-a)^3$

Xét hàm $f(t)=2^t+t^3$

Có $f'(t)=2^t\ln2+3t^2>0\forall t\in\mathbb{R}$

Suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Do đó $2^b+b^3=2^{-a}+(-a)^3\Leftrightarrow b=-a$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3x}=2-x$

$\Leftrightarrow m=-x^3+6x^2-9x+8$

Xét $g(x)=-x^3+6x^2-9x+8$

Lập bảng biến thiên

$\begin{array}{c|ccccccc}

x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\

\hline

y' & & - & 0 & + & 0 & - & \\

\hline

y & +\infty & & & & 8 & & \\

& & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\

& & & 4 & & & & -\infty

\end{array}$

Suy ra pt có 3 nghiệm khi $m\in(4;8)\Rightarrow a+b=12$

Bạn làm đúng rồi nha.