Toán 12 $\int_a^b x\cdot f(x)\, \mathrm{d}x = \frac{a+b}2\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x$

[TyhLinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh:
[tex]\int_{a}^{b}x.f(x)dx = \frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex]
nếu f(x)=f(a+b-x)

 

[minhtan25102003]

Đặt $t=a+b-x \Rightarrow dt=-dx$

$x=a \rightarrow t=b$

$x=b \rightarrow t=a$

Khi đó:

$\int_{a}^{b}x.f(x)dx=\int_{a}^{b}x.f(a+b-x)dx=-\int_{b}^{a}(a+b-t)f(t)dt=\int_{a}^{b}(a+b-t)f(t)dt$

$=(a+b)\int_{a}^{b}f(t)dt-\int_{a}^{b}t.f(t)dt=(a+b)\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}x.f(x)x$

Suy ra: $\int_{a}^{b}x.f(x)dx=\dfrac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx$

Mình gửi bài chứng minh, có gì thắc mắc cậu hỏi lại nhe