Hình thoi, Định lí TALET trong tam giác?

[canary7311]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình thoi ABCD, E và F theo thứ tự là hình chiếu của O trên BC và CD. Tính các góc của hìng thoi biết rằng EF bằng một phần tư đường chéo AC của hình thoi.

Bài 2: Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng d qua M cắt cạnh AC tại N, cắt đường thẳng AB tại P. Gọi X, Y lần lượt là đỉnh của thứ tư của các hình bình hành MNXB, MPYC. Chứng minh rằng A, X, Y thẳng hàng.


Các bạn giúp mình làm bài này nhé! Mình đang cần gấp lắm!
Mình xin cảm ơn trước nhé!

 

[lisel]

Bài 1:
EF cắt AC tại I
Do tính chất của hình thoi ta dễ dàng cm các điều sau:
* OBC và ODC là hai tgiác vuông bằng nhau
* OE = OF
* CE = CF
* EF vuông OC, I là trung điểm EF
cm cứ theo lần lượt từng bước như trên
-------

ta có: EI = EF/2; OC = AC/2; ta giải với EF = AC/4 nhé

=> EI = OC/4

đặt: EI = a => IC = 4a

Có: IO.IC = IE² = a² (*)

mà: IO + IC = OC = 4a => IO = 4a - IC, thay vào (*)

(4a - IC).IC = a²

<=> IC² - 4a.IC + a² = 0

<=> IC² - 4a.IC + 4a² = 3a²

<=> (IC - 2a)² = 3a²

* IC -2a = -a√3 => IC = (2-√3)a
=> tan(OCB) = EI / IC = 1/(2-√3)
từ đó tính ra các góc
...
xét tiếp các trường hợp còn lại.

 

[yenngoc1629]

Bài 2:
Kéo dài XN, PY cắt AB, AC tại E, F
Tam giác EPN có BX//PN
Suy ra: EB/BP=EX/XN (1)
Tam giác NPF có: CY//PN
Suy ra: CN/CF=PY/YF (2)
Xét hình thang ENFP, có: FN//PE, BC//PF
Suy ra: BE/BP=NC/CF (3)
Từ (1)(2)(3), suy ra: EX/PY=NC/CF
Xét các đoạn thẳng AP, AY, AF, có: EX/PY=NC/CF
Suy ra A, X, Y thẳng hàng.