Hình không gian 11

[blackrose96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, tam giác BCD vuông tại C và góc BDC =30 độ, M là 1 điểm thay đổi trên cạnh BD, AB=BD=a, đặt BM=x. Mặt phẳng $\alpha$ qua M và song song với AB,CD.
a) Dựng thiết diện của tứ diện với $\alpha$
b) Tính diện tích S của thiết diện.
c) Xác định vị trí của M trên BD để S lớn nhất.

2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SB=b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy điểm M, đặt AM=x(0<x<a) mặt phẳng $\alpha$ qua M, // với AC và SB lần lượt cắt BC, SC, SA lần lượt tại N,P,Q
a) MNPQ là hình giác gì?
b) Tính diện tích MNPQ. Xác định x để diện tích ấy lớn nhất

3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SAB là tam giác vuông tại A với SA=a. Gọi M là 1 điểm thay đôi trên AD, đặt AM=x(0<x<a). Gọi mặt phẳng $\alpha$ qua M, // với CD và SA
a) Dựng thiết diện của hình chóp với $\alpha$, thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích S của thiết diện theo a và x
Bài 2. Ngày 06/09/2012

 

[hoan1793]

Làm trước bài 1.
a. Dựng MN // CD (N thuộc BC), MQ // AB (Q thuộc AD), dựng NP // AB (P thuộc AC)
Suy ra MNPQ là thiết diện của α với tứ diện ABCD
b. α // CD mà PQ = giao tuyến của (α) và (ACD) suy ra PQ // CD
mà MN // CD
Nên MN // PQ
Cm tương tự NP // MQ (cùng // vs AB)
Mặt khác AB vuông góc CD
Nên MN vuông góc MQ
Suy ra MNPQ là hình chữ nhật
CD = BD cos(góc BDC) = a.cos30° = a.can(3) / 2
DM = BD – BM = a – x
Theo định lý talet thì MN / CD = BM / BD
<=> MN = CD. BM / BD = x.can(3) / 2
Ta cũng có MQ / AB = DM / DB
<=> MQ = AB.DM / DB = a(a – x) / a = a – x
S = S_MNPQ = MN.MQ = x(a – x)can(3) / 2
c. Áp dụng bdt cauchy: (a – x) + x ≥ 2can[x(a – x)]
<=> a^2 ≥ 4x(a – x)
Suy ra S ≤ a^2 can(3) / 8
max S = a^2 can(3) / 8 khi x = a/2 hay M là trung điểm BC

 

[hoan1793]

Làm tiếp bài 2.

a. MN = giao tuyến của (α) và (ABCD)
Mà (α) // AC, AC nằm trong mp (ABCD)
Nên MN // AC
Chứng minh tương tự PQ // AC, MQ // SB // NP
Suy ra MNPQ là hình bình hành
Gọi O là giao AC và BD.
Ta có OA = OC = AC / 2 và SA = SC nên SO vuông góc AC
Mặt khác AC vuông góc vs BD (hai đường chéo hình vuông)
Nên AC vuông góc mp (SBD) suy ra AC vuông góc SB
mà MN // AC và NP // SB (cmt)
Suy ra MN vuông góc NP
Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
b. Gọi S là diện tích MNPQ. Ta có S = MN. PQ
Mặt khác MN / AC = BM / AB
Suy ra MN = AC.BM / AB = a.can(2).(a – x) / a = (a – x).can(2)
Ta lại có: MQ / SB = AM / AB
Suy ra MQ = SB.AM / AB = b.x / a
Nên S = bx(a – x).can(2) / a
Áp dụng bđt cauchy: x + (a – x) ≥ 2can[x(a – x)] <=> a^2 ≥ 4x(a – x)
suy ra S ≤ ba.can(2) / 4
max S = ab.can(2) / 4 khi x = a/2 hay M là trung điểm AB.

 

[hoan1793]

Làm luôn bài 3.
a. Dựng MN // CD (N thuộc BC), MQ // SA (Q thuộc SD), dựng QP // CD (P thuộc SC)
Suy ra MNPQ là thiết diện cần dựng
MN // CD // PQ nên MNPQ là hình thang
Mặt khác MN // CD // AB và MQ // SA
Mà SA vuông góc vs AB
Nên MN vuông góc vs MQ
Vậy MNPQ là hình thang vuông
b. S = (1/2)MQ.(MN + PQ)
MN = AB = a (MNBA là hình bình hành)
MQ / SA = MD / AD (đ/lý ta lét)
Suy ra MQ = SA.MD / AD = a.(a – x) / a = a – x
Ta có PQ / CD = SQ / SD = AM / AD (talet 2 lần)
Suy ra PQ = CD.AM / AD = a.x / a = x
Nên S = (1/2)(a – x)(a + x) = (1/2)(a^2 – x^2)


P/s mấy câu này giống nhau về cách làm mà :Mloa_loa: Manchester United vô địch