Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AE.AC = AF.AB
b) Chứng minh: CH.CF + BH.BE = BC(^2)
c) Gọi N là giao điểm của EF và AD. Chứng minh NH.AD = AN.HD
d) Qua A vẽ các đường thẳng lần lượt // BE và CF lần lượt cắt CF và BE kéo dài tại P và Q. Chứng minh PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.
(Cần giúp câu d)
Vì tam giác ABC nhọn nên trực tâm H nằm bên trong nó.
Tôi trình bày 2 cách cho câu d).
Cách 1: Dùng các khái niệm về vectơ sẽ chứng minh bài toán ngắn ngọn hơn:
[tex]\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PH} + \overrightarrow{HQ}[/tex]
[tex]2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}[/tex]
nhân vào có:
[tex]2\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{PH}.\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{HQ}.\overrightarrow{AB}[/tex] , do PH [tex]\perp[/tex] AB và HQ [tex]\perp[/tex] AC.
biến đổi tiếp = [tex]\frac{HP}{HC}.\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AC} - \frac{HQ}{HB}.\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AB} = HP.CA.cos\widehat{ACH} - HQ.AB.cos\widehat{ABH}[/tex]
hai góc trên bằng nhau, hơn nữa: [tex]\frac{HP}{HQ} = \frac{AQ}{AP} = \frac{AB}{AC}[/tex] do 2 tam giác vuông ABQ và ACP đồng dạng.
Vậy tích vô hướng = 0 nên [tex]PQ \perp AM[/tex] (dpcm)
Cách 2: Giải theo phương pháp lớp 8:
Vì tam giác ABC nhọn nên các tia AQ và AP luôn nằm ngoài tam giác.
Ta chia 2 trường hợp:
1) Nếu tam giác ABC cân tại A. lúc đó AD [tex]\equiv[/tex] AM, và dễ chứng minh AP = AQ nên suy ra PQ vuông góc AM.
2) Nếu tam giác ABC không cân tại A. Khi đó AD và AM phân biệt. Vì tam giác ABC nhọn nên trực tâm H nằm trong nó.
Giả sử [tex]\widehat{B} > \widehat{C}[/tex] (trường hợp ngược lại chứng minh tương tự).
Khi đó D nằm giữa B và M.
Gọi O là giao của 2 đường chéo hình bình hành AQHP.
Vẽ hình bình hành ACTB, thì T sẽ nằm ở nửa bên kia mp bờ BC so với A. Vì M là trung điểm BC nên M cũng sẽ là trung điểm AT.
Gọi J là trung điểm HT. Thì MJ là đường trung bình tam giác TAH, nên MJ //= 1/2 AH, và MJ vuông góc BC.
Cũng có JO //= 1/2 AT, hay JO //= AM.
Vì H nằm trong tam giác ABM nên cũng trong ABT. vậy J, H nằm cùng phía nhau so với AT (cùng phía với B). Mà J lại nằm trên trung trực của BC. nên J phải nằm khác phía với H so với BC, vì nếu J mà nằm ở phía tam giác ABC thì nó sẽ nằm ở nửa bên kia mp bờ AT so với H.
Như vậy J phải nằm trong tam giác TMB.
Tứ giác HBTC có 2 tam giác vuông HBT và HCT cùng chung cạnh huyền HT. như vậy 4 tam giác JHC, JHB, JTC, JTB đều cân tại J.
suy ra [tex]\widehat{BJC} = 2.\widehat{BTC}[/tex]
hay [tex]\widehat{MJB} = \widehat{MJC} = \widehat{A}[/tex] của tam giác ABC.
suy ra: [tex]\widehat{JBC} = \widehat{JCB} = \widehat{ABE} = \widehat{ACF}[/tex]
suy ra: [tex]\widehat{HBJ} = \widehat{HBC} + \widehat{CBJ} = \widehat{ABE} + \widehat{EBC} = \widehat{B}[/tex] của tam giác ABC.
tương tự [tex]\widehat{HCJ} = \widehat{C}[/tex] của tam giác ABC.
mà [tex]\widehat{B} = \widehat{HAQ} = \widehat{OAQ}[/tex] do cùng phụ với góc BAD.
Suy ra: [tex]\widehat{QBJ} = \widehat{QAO}[/tex]
mặt khác:
gọi U là trung điểm BH thì do tam giác JBH cân nên JU cũng là đương cao.
--> [tex]\widehat{UJB} = \widehat{HAF}[/tex] vì cùng phụ với góc B = góc UBJ.
nên 2 tam giác vuông FHA và UBJ đồng dạng.
suy ra: [tex]\frac{2AO}{BJ} = \frac{HA}{BJ} = \frac{HF}{BU} = \frac{2HF}{BH}[/tex]
hay: [tex]\frac{AO}{BJ} = \frac{HF}{HB}[/tex]
mà dễ thấy 2 tam giác vuông BFH và BAQ đồng dạng, nên [tex]\frac{HF}{HB} = \frac{AQ}{BQ}[/tex]
vậy: [tex]\frac{AO}{BJ} = \frac{AQ}{BQ}[/tex], kết hợp với 2 góc ở giữa = nhau nữa nên ta suy ra 2 tam giác AOQ và BJQ đồng dạng (c-g-c)
Suy ra: [tex]\frac{JQ}{OQ} = \frac{JB}{OA}[/tex]
Chứng mình tương tự ta cũng có các tam giác AOP và CJP đồng dạng, nên suy ra [tex]\frac{JP}{OP} = \frac{JC}{OA}[/tex]
vì JB = JC và OP = OQ nên trừ trên suy ra: JP = JQ. Vậy tam giác JPQ cân tại J mà JO là trung tuyến nên cũng là đương cao.
--> JO [tex]\perp[/tex] PQ. mà JO // AM. --> AM [tex]\perp[/tex] PQ (dpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
