hình 8

[math012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC nhọn; các đường cao

AA' ; BB' ; CC' . H là trực tâm

a/ tính tổng $\dfrac{HA'}{AA'}$+$\dfrac{HB'}{BB'}$+$\dfrac{HC'}{CC'}$

b/ kẻ phân giác AI của tan=m giác ABC , phân giác IM của tam giác AIC; phân giác IN của

tam giác AIB . c/m AN.BI.CM=BN.IC.AM

c/ c/m $(AB+BC+CA)^2$ 4($AA'^2$+$BB'^2$+$CC'^2$)

p/s : các bạn chỉ cần giải câu c là dc ; câu a,b mk làm dc r
Không dùng chữ màu đỏ

 

[transformers123]

c/ Đề sai, phải là $(AB+BC+CA)^2 \ge 4(AA'^2+BB'^2+CC'^2)$
Vẽ $Cx \bot CC'$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $Cx$
$\Longrightarrow \Delta ACD$ cân tại $C$
$\Longrightarrow AC=CD$
Dễ dàng chứng minh $AKCC'$ là hình chữ nhật
$\Longrightarrow \widehat{BCD}=90^0$
$\Longrightarrow \Delta BAD$ vuông tại $A$
Ta có:
$AD=2AK$ ($D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $Cx$)
$AK=CC'$ ($AKCC'$ là hình chữ nhật)
Vậy $AD=2CC'$
Xét $3$ điểm $B, C, D$ có:
$BD \le BC+CD$
mà $BD^2=AB^2+AD^2$ ( vì $\Delta BAD$ vuông tại $A$)
Nên: $(BC+AC)^2 \ge AB^2+AD^2$ (vì $CD=AC$)
$\Longrightarrow (BC+AC)^2 \ge AB^2+4CC'^2$ (vì $AD=2CC'$)
$\Longrightarrow 4CC'^2 \le (BC+AC)^2-AB^2\ (1)$
Chứng minh tương tự, ta được: $\begin{cases}4AA'^2 \le (AB+AC)^2-BC^2\ (2)\\4BB'^2 \le (AB+BC)^2-AC^2\ (3)\end{cases}$
Cộng lại, ta được:
$(BC+AC)^2-AB^2+(AB+AC)^2-BC^2+(AB+BC)^2-AC^2 \ge 4(AA'+BB'+CC')$
$\iff (AB+BC+CA)^2 \ge 4(AA'+BB'+CC')$
Dấu "=' xảy ra khi $\Delta ABC$ đều