Nhìn đáp án, xem ra chỉ cần tính $\tan \alpha$ theo các góc trong tam giác $ABC$ là được...
$\tan \alpha$ có gì đặc biệt không? Nhìn, nhìn, nhìn...
A! Chả có gì đặc biệt hết. Nếu làm trâu bò thì chắc... sẽ ra, mà thôi lười quá nên tìm cách khác: Kẻ thêm!
Phân giác với trung tuyến thì liên quan bởi trung điểm cung $BC$, dựng thử:
Dựng đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$ là $(O)$ và $D$ là trung điểm cung nhỏ $BC$, $E$ là trung điểm cung lớn
Giờ thì góc $\alpha$ nó rộng hơn rồi: $\widehat{DAM}$. Có thêm tam giác vuông $\triangle{DAE}$ nữa chắc hồi nữa xài tới...
Vậy còn các góc còn lại trong đáp án thì sao? $\dfrac{A}2$ thì dễ rồi, tùm lum góc hết.
Thế $\dfrac{B-C}2$? Để xem thử... A! Nó bằng $\dfrac{\widehat{ADC} - \widehat{ADB}}2 = \widehat{ADM}$, cùng với tam giác của góc $\alpha$ luôn
) Ngon!
Vậy giờ $\tan \dfrac{A}2$ làm sao để liên quan nào... À, đáp án chủ yếu là $\tan^2 \dfrac{A}2$ nên xài luôn: $$\tan^2 \dfrac{A}2 = \tan^2 \widehat{DEC} = \dfrac{CD^2}{CE^2} = \dfrac{MD}{ME}$$
Ở đây mình vừa xài một cái hệ thức lượng (hệ quả) yêu thích của mình: tỉ lệ của bình phương hai cạnh góc vuông bằng tỉ lệ hai hình chiếu tương ứng!
Để liên quan tới $\tan$ với $\cot$ thì cái tỉ lệ này nó là $$\dfrac{MD}{ME} = \dfrac{MD}{MP} \cdot \dfrac{MP}{ME} = \cot \widehat{MDA} \cdot \tan \widehat{MEP}$$
$\widehat{MDA} = \dfrac{B - C}2$ như ở trên ghi luôn này =)) Chỉ cần chứng minh $\widehat{MEP} = \alpha$ nữa là xong. Và... tứ giác nội tiếp!
Vậy là xong. Tới đây bạn tự ghép lại hay trình bày lại thành 1 bài nha
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
