Áp dụng định lí sin ta có: [tex]\frac{AB}{sin\widehat{C}}=\frac{BC}{sin\widehat{A}}=2R[/tex]
Lại có: [tex]S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=2R^2.sin^2\widehat{C}.sin\widehat{A}=2R^2.sin^2\widehat{C}.sin(180^o-2\widehat{C})=2R^2.sin^2\widehat{C}.sin2\widehat{C}[/tex]
Đặt [tex]\widehat{C}=\alpha \Rightarrow S=2R^2.sin^2\alpha .sin2\alpha =4R^2.sin^3\alpha .cos\alpha =4R^2.sin^3\alpha \sqrt{1-sin^2\alpha }=4R^2.\sqrt{sin^6(1-sin^2\alpha )}[/tex]
Vì tam giác ABC cân tại A [tex]\Rightarrow \widehat{A}<90^o[/tex]
Đặt [tex]sin^2\alpha =x(1> x\geq 0)[/tex]
Ta có: [tex]x^3(1-x)=27.\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.\frac{x}{3}(1-x)\leq 27.(\frac{\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+1-x}{4})^4=\frac{27}{4^4}=\frac{27}{256}\Rightarrow S\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]x=\frac{3}{4}\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \widehat{C}=60^o \Leftrightarrow[/tex] Tam giác ABC đều
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
