Toán Hệ thức lượng trong tam giác

[Lê Mạnh Cường]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]\Delta ABC[/tex] có BC=a, CA=b và AB =c. Gọi [tex]l_{a},l_{b},l_{c}[/tex] là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A,B và C.Chứng minh rằng: [tex]l_{a}^{2}=\frac{4bc}{(b+c)^{2}}.p.(p-a)[/tex] với [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex] (nửa chu vi).

 

[kingsman(lht 2k2)]

[tex]\Delta ABC[/tex] có BC=a, CA=b và AB =c. Gọi [tex]l_{a},l_{b},l_{c}[/tex] là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A,B và C.Chứng minh rằng: [tex]l_{a}^{2}=\frac{4bc}{(b+c)^{2}}.p.(p-a)[/tex] với [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex] (nửa chu vi).

biến đổi <=> hệ thức cần chứng minh ta được
[tex]I_{a}=\sqrt{bcp(p-a)}.\frac{2}{(b+c)}[/tex]
áp dụng định lí phân giác (lớp 9)
ta được
[tex]\frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}=\frac{c}{p}[/tex]
[tex]\Rightarrow BI=\frac{ac}{b+c}[/tex]
Áp dụng công thức hàm cos đối với tam giác ABI
[tex]AI^{2}=AB^{2}+BI^{2}-2AB.BI.cos(\widehat{B})=(\frac{ac}{b+c})^{2}+c^{2}-\frac{c(a^{2}+c^{2}-b^{2})}{b+c}=(c+b-a)(a+b+c)(\frac{bc}{(b+c)^{2}})\Rightarrow AI=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}(dcpcm)[/tex]