Toán 11 Giới hạn vô định hàm lượng giác

Thảo luận trong 'Giới hạn' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 29 Tháng hai 2020.

Lượt xem: 37

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Trong bài này đề cập đến các ví dụ về giới hạn vô định hàm lượng giác, dạng 0/0. Còn những dạng thông thường như là: [tex]\underset{x->+oo}{lim}\frac{sinx}{x}[/tex] , thì quá dễ để nhìn ra nó bằng 0 rồi.

    * Các công thức cần nhớ:
    [tex]\underset{x->0}{lim}\frac{sinx}{x}=\underset{x->0}{lim}\frac{x}{sinx}=1[/tex]

    Từ đó ta dễ suy ra :
    [tex]\underset{x->0}{lim}\frac{tanx}{x}=\underset{x->0}{lim}\frac{x}{tanx}=\underset{x->0}{lim}(\frac{sinx}{x}.\frac{1}{cosx})=\underset{x->0}{lim}(\frac{x}{sinx}.cosx)=1[/tex]

    (do [tex]\underset{x->0}{lim}cosx=1[/tex])

    + Mở rộng: [tex]\underset{f(x)->0}{lim}\frac{sinf(x)}{f(x)}=1[/tex]

    - Các công thức biến đổi lượng giác cơ bản đã học vào đầu năm lớp 11. Bởi vì đề bài người ta sẽ không cho kiểu 1 phát ăn luôn, mà ta cần sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi về 1 trong các công thức cơ bản trên. Rồi áp dụng. Ở đây sẽ liệt kê 1 số công thức hay dùng:

    [TEX]cos2x=1-2sin^2x[/TEX]

    [TEX]sin3x=3sinx-4sin^3x[/TEX]

    [TEX]sin2x=2sinxcosx[/TEX]

    [tex]tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}[/tex]

    [tex]sinx+cosx=\sqrt{2}(x+\frac{\pi }{4})[/tex]

    [tex]sinx-cosx=\sqrt{2}(x-\frac{\pi }{4})[/tex]

    * Các bài tập:

    Tính các giới hạn sau:

    1. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cos2x}{x^2}[/tex]

    Giải: Đây là dạng vô định, tử và mẫu khi thay x vào đều bằng 0. Ta cần nghĩ công thức biến đổi lượng giác sao cho trên tử phải có sin, sin của cái gì cũng được. Trong các bài toán sau ta cũng làm tương tự. Trường hợp biến đổi qua tan tiện hơn, thì ta sẽ biến đổi về tan. Nhưng thường là sẽ biến về sin.

    Ta có: [TEX]1-cos2x=1-(1-2sin^2x)=2sin^2x[/TEX]
    =>[tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}2(\frac{sinx}{x})^2=2[/tex]

    2. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/tex]

    Giải: ta có: [TEX]1-cos2x=2sin^2x[/TEX]

    =>[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{sin^22x}[/tex]

    Ta cần nhân thêm bớt để xuất hiện dạng [tex]\frac{sinx}{x}[/tex]

    => [tex]I=\underset{x->0}{lim}(2.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{(2x)^2}{sin^22x}.\frac{1}{4})=2.1.1.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/tex]

    3. [tex]I=\underset{x->1}{lim}\frac{x^3-1}{tan(x-1)}[/tex]

    Giải: [tex]I=\underset{x->1}{lim}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{tan(x-1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{x-1}{tan(x-1)}.\underset{x->1}{lim}(x^2+x+1)[/tex]

    Theo biểu thức mở rộng ta có: [tex]\underset{x->1}{lim}\frac{x-1}{tan(x-1)}=1[/tex]

    Vậy [TEX]I=1.3=3[/TEX]

    4. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cosxcos2x}{x^2}[/tex]

    Giải: tiếp tục theo suy nghĩ cứ biến đổi về sin rồi tính, ta có:
    [tex]cosxcos2x=(1-2sin^2\frac{x}{2})(1-2sin^2x)=1-2sin^2\frac{x}{2}-2sin^2x+4sin^2\frac{x}{2}sin^2x[/tex]

    => [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}+2sin^2x-4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}+\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}-\underset{x->0}{lim}\frac{4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}[/tex]

    [tex]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2.4}=2/4=1/2[/tex]

    ( lưu ý là thêm bớt [tex](\frac{x}{2})^2[/tex] để có thể đưa vào bình phương, chứ không phải chỉ là [tex]\frac{x^2}{2}[/tex] )

    [TEX]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}=2[/TEX]

    [tex]\underset{x->0}{lim}\frac{4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{sin^2x}{x^2}.\underset{x->0}{lim}4sin^2\frac{x}{2}=1.0=0[/tex]

    =>[tex]I=\frac{1}{2}+2-0=\frac{5}{2}[/tex]

    5. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{tan2x-sin2x}{x^3}[/tex]

    Giải: biến đổi tử ta có:
    [tex]tan2x-sin2x=\frac{sin2x}{cos2x}-sin2x=\frac{sin2x(1-cos2x)}{cos2x}=\frac{2sin2xsin^2x}{cos2x}[/tex]

    =>[tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin2xsin^2x}{cos2x.x^3}[/tex]
    =[tex]\underset{x->0}{lim}(\frac{2sin2x}{2x}.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{2}{cos2x})=2.1.2=4[/tex]
     
    minhhoang_vip thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->