- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Trong bài này đề cập đến các ví dụ về giới hạn vô định hàm lượng giác, dạng 0/0. Còn những dạng thông thường như là: [tex]\underset{x->+oo}{lim}\frac{sinx}{x}[/tex] , thì quá dễ để nhìn ra nó bằng 0 rồi.
* Các công thức cần nhớ:
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{sinx}{x}=\underset{x->0}{lim}\frac{x}{sinx}=1[/tex]
Từ đó ta dễ suy ra :
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{tanx}{x}=\underset{x->0}{lim}\frac{x}{tanx}=\underset{x->0}{lim}(\frac{sinx}{x}.\frac{1}{cosx})=\underset{x->0}{lim}(\frac{x}{sinx}.cosx)=1[/tex]
(do [tex]\underset{x->0}{lim}cosx=1[/tex])
+ Mở rộng: [tex]\underset{f(x)->0}{lim}\frac{sinf(x)}{f(x)}=1[/tex]
- Các công thức biến đổi lượng giác cơ bản đã học vào đầu năm lớp 11. Bởi vì đề bài người ta sẽ không cho kiểu 1 phát ăn luôn, mà ta cần sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi về 1 trong các công thức cơ bản trên. Rồi áp dụng. Ở đây sẽ liệt kê 1 số công thức hay dùng:
[TEX]cos2x=1-2sin^2x[/TEX]
[TEX]sin3x=3sinx-4sin^3x[/TEX]
[TEX]sin2x=2sinxcosx[/TEX]
[tex]tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}[/tex]
[tex]sinx+cosx=\sqrt{2}(x+\frac{\pi }{4})[/tex]
[tex]sinx-cosx=\sqrt{2}(x-\frac{\pi }{4})[/tex]
* Các bài tập:
Tính các giới hạn sau:
1. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cos2x}{x^2}[/tex]
Giải: Đây là dạng vô định, tử và mẫu khi thay x vào đều bằng 0. Ta cần nghĩ công thức biến đổi lượng giác sao cho trên tử phải có sin, sin của cái gì cũng được. Trong các bài toán sau ta cũng làm tương tự. Trường hợp biến đổi qua tan tiện hơn, thì ta sẽ biến đổi về tan. Nhưng thường là sẽ biến về sin.
Ta có: [TEX]1-cos2x=1-(1-2sin^2x)=2sin^2x[/TEX]
=>[tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}2(\frac{sinx}{x})^2=2[/tex]
2. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/tex]
Giải: ta có: [TEX]1-cos2x=2sin^2x[/TEX]
=>[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{sin^22x}[/tex]
Ta cần nhân thêm bớt để xuất hiện dạng [tex]\frac{sinx}{x}[/tex]
=> [tex]I=\underset{x->0}{lim}(2.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{(2x)^2}{sin^22x}.\frac{1}{4})=2.1.1.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/tex]
3. [tex]I=\underset{x->1}{lim}\frac{x^3-1}{tan(x-1)}[/tex]
Giải: [tex]I=\underset{x->1}{lim}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{tan(x-1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{x-1}{tan(x-1)}.\underset{x->1}{lim}(x^2+x+1)[/tex]
Theo biểu thức mở rộng ta có: [tex]\underset{x->1}{lim}\frac{x-1}{tan(x-1)}=1[/tex]
Vậy [TEX]I=1.3=3[/TEX]
4. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cosxcos2x}{x^2}[/tex]
Giải: tiếp tục theo suy nghĩ cứ biến đổi về sin rồi tính, ta có:
[tex]cosxcos2x=(1-2sin^2\frac{x}{2})(1-2sin^2x)=1-2sin^2\frac{x}{2}-2sin^2x+4sin^2\frac{x}{2}sin^2x[/tex]
=> [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}+2sin^2x-4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}+\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}-\underset{x->0}{lim}\frac{4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}[/tex]
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2.4}=2/4=1/2[/tex]
( lưu ý là thêm bớt [tex](\frac{x}{2})^2[/tex] để có thể đưa vào bình phương, chứ không phải chỉ là [tex]\frac{x^2}{2}[/tex] )
[TEX]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}=2[/TEX]
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{sin^2x}{x^2}.\underset{x->0}{lim}4sin^2\frac{x}{2}=1.0=0[/tex]
=>[tex]I=\frac{1}{2}+2-0=\frac{5}{2}[/tex]
5. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{tan2x-sin2x}{x^3}[/tex]
Giải: biến đổi tử ta có:
[tex]tan2x-sin2x=\frac{sin2x}{cos2x}-sin2x=\frac{sin2x(1-cos2x)}{cos2x}=\frac{2sin2xsin^2x}{cos2x}[/tex]
=>[tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin2xsin^2x}{cos2x.x^3}[/tex]
=[tex]\underset{x->0}{lim}(\frac{2sin2x}{2x}.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{2}{cos2x})=2.1.2=4[/tex]
* Các công thức cần nhớ:
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{sinx}{x}=\underset{x->0}{lim}\frac{x}{sinx}=1[/tex]
Từ đó ta dễ suy ra :
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{tanx}{x}=\underset{x->0}{lim}\frac{x}{tanx}=\underset{x->0}{lim}(\frac{sinx}{x}.\frac{1}{cosx})=\underset{x->0}{lim}(\frac{x}{sinx}.cosx)=1[/tex]
(do [tex]\underset{x->0}{lim}cosx=1[/tex])
+ Mở rộng: [tex]\underset{f(x)->0}{lim}\frac{sinf(x)}{f(x)}=1[/tex]
- Các công thức biến đổi lượng giác cơ bản đã học vào đầu năm lớp 11. Bởi vì đề bài người ta sẽ không cho kiểu 1 phát ăn luôn, mà ta cần sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi về 1 trong các công thức cơ bản trên. Rồi áp dụng. Ở đây sẽ liệt kê 1 số công thức hay dùng:
[TEX]cos2x=1-2sin^2x[/TEX]
[TEX]sin3x=3sinx-4sin^3x[/TEX]
[TEX]sin2x=2sinxcosx[/TEX]
[tex]tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}[/tex]
[tex]sinx+cosx=\sqrt{2}(x+\frac{\pi }{4})[/tex]
[tex]sinx-cosx=\sqrt{2}(x-\frac{\pi }{4})[/tex]
* Các bài tập:
Tính các giới hạn sau:
1. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cos2x}{x^2}[/tex]
Giải: Đây là dạng vô định, tử và mẫu khi thay x vào đều bằng 0. Ta cần nghĩ công thức biến đổi lượng giác sao cho trên tử phải có sin, sin của cái gì cũng được. Trong các bài toán sau ta cũng làm tương tự. Trường hợp biến đổi qua tan tiện hơn, thì ta sẽ biến đổi về tan. Nhưng thường là sẽ biến về sin.
Ta có: [TEX]1-cos2x=1-(1-2sin^2x)=2sin^2x[/TEX]
=>[tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}2(\frac{sinx}{x})^2=2[/tex]
2. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/tex]
Giải: ta có: [TEX]1-cos2x=2sin^2x[/TEX]
=>[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{sin^22x}[/tex]
Ta cần nhân thêm bớt để xuất hiện dạng [tex]\frac{sinx}{x}[/tex]
=> [tex]I=\underset{x->0}{lim}(2.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{(2x)^2}{sin^22x}.\frac{1}{4})=2.1.1.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/tex]
3. [tex]I=\underset{x->1}{lim}\frac{x^3-1}{tan(x-1)}[/tex]
Giải: [tex]I=\underset{x->1}{lim}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{tan(x-1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{x-1}{tan(x-1)}.\underset{x->1}{lim}(x^2+x+1)[/tex]
Theo biểu thức mở rộng ta có: [tex]\underset{x->1}{lim}\frac{x-1}{tan(x-1)}=1[/tex]
Vậy [TEX]I=1.3=3[/TEX]
4. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{1-cosxcos2x}{x^2}[/tex]
Giải: tiếp tục theo suy nghĩ cứ biến đổi về sin rồi tính, ta có:
[tex]cosxcos2x=(1-2sin^2\frac{x}{2})(1-2sin^2x)=1-2sin^2\frac{x}{2}-2sin^2x+4sin^2\frac{x}{2}sin^2x[/tex]
=> [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}+2sin^2x-4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}+\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}-\underset{x->0}{lim}\frac{4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}[/tex]
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2.4}=2/4=1/2[/tex]
( lưu ý là thêm bớt [tex](\frac{x}{2})^2[/tex] để có thể đưa vào bình phương, chứ không phải chỉ là [tex]\frac{x^2}{2}[/tex] )
[TEX]\underset{x->0}{lim}\frac{2sin^2x}{x^2}=2[/TEX]
[tex]\underset{x->0}{lim}\frac{4sin^2\frac{x}{2}sin^2x}{x^2}=\underset{x->0}{lim}\frac{sin^2x}{x^2}.\underset{x->0}{lim}4sin^2\frac{x}{2}=1.0=0[/tex]
=>[tex]I=\frac{1}{2}+2-0=\frac{5}{2}[/tex]
5. [tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{tan2x-sin2x}{x^3}[/tex]
Giải: biến đổi tử ta có:
[tex]tan2x-sin2x=\frac{sin2x}{cos2x}-sin2x=\frac{sin2x(1-cos2x)}{cos2x}=\frac{2sin2xsin^2x}{cos2x}[/tex]
=>[tex]I=\underset{x->0}{lim}\frac{2sin2xsin^2x}{cos2x.x^3}[/tex]
=[tex]\underset{x->0}{lim}(\frac{2sin2x}{2x}.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{2}{cos2x})=2.1.2=4[/tex]
