Toán 8 $\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8}$

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi riverflowsinyou1, 28 Tháng tư 2014.

Lượt xem: 51,282

  1. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Mọi nguời thử xem cách này !

    Đặt $x=\dfrac{1}{\sqrt{1+8a}},y=\dfrac{1}{\sqrt{1+8b}},z=\dfrac{1}{\sqrt{1+8c}} \Rightarrow a=\dfrac{1-x^2}{8x^2},b=\dfrac{1-y^2}{8y^2},c=\dfrac{1-z^2}{8z^2}(0<x,y,z<1)\\abc=1 \rightarrow 8^3x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$

    Theo yêu cầu đề bài ta chỉ cần cm: $x+y+z \geq 1$

    Giả sử nguợc lại$ x+y+z<1$ Khi đó

    $1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(y+z)[(x+y)+(x+z)] \geq 2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}>0$

    Tuơng tự với y,z và nhân ba vế này ta đựoc:

    $8x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)>8(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2 \Leftrightarrow 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x) \Leftrightarrow \sum x(y-z)^2<0 $

    Bất đẳng thức cuối cùng không đúng. Điều đó chứng tỏ giả sử sai nên BDT đc cm
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng tư 2014
  2. san1201

    san1201 Guest

    Làm cho câu cực trị này nhá

    Tìm MIN của $$A=x^{2}-3xy+2x+3y^{2}-3y+2$$
     
  3. $A=x^2-(3y-2)x+3y^2-3y+2$
    $=(x-\dfrac{3}{2}y+1)^2-\dfrac{9y^2-12y+4}{4}+3y^2-3y+2$
    $=(x-\dfrac{3}{2}y+1)^2+\dfrac{3}{4}y^2+1 \ge 1$

    $\text{minA}=1 \leftrightarrow x=-1, y=0$
     

  4. Tìm trên Youtube có bài cũng hay, up lên cho các bác :))

    $x+y+z=6; x,y,z>0$

    Chứng minh: $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$
     
  5. Cho $a;b;c$>$0$; $a+b+c=3$. C/m
    $\frac{a}{1+b^2}$+$\frac{b}{c^2+1}$+$\frac{c}{1+a^2}$ \geq $1,5$
     
  6. chonhoi110

    chonhoi110 Guest

    Áp dụng $AM-GM$, ta có:

    $\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{1+a^2}$

    $=(a+b+c)-(\dfrac{ab^2}{1+b^2}+\dfrac{bc^2}{1+c^2}+\dfrac{ca^2}{1+a^2})$

    $\ge 3-(\dfrac{ab^2}{2b}+\dfrac{bc^2}{2c}+\dfrac{ca^2}{2a})$

    $=3-\dfrac{1}{2}(ab+bc+ca) \ge 3-\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}$

    Dấu "=" xảy ra $\Longleftrightarrow a=b=c=1$
     
  7. chonhoi110

    chonhoi110 Guest

    Lời giải ~~>Đây

    Thử bài này nhá! :p (bài bao nhiêu rồi nhỉ? )

    Bài... : Cho $a,b,c >0$ thỏa $a+b+c=1$

    Chứng minh: $\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+ \dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
     
  8. letsmile519

    letsmile519 Guest

    Ta có:

    $=\sum \frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}$

    \Rightarrow$\sum \frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}$\geq $\frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{b+c}}$

    H ta cần tìm GTLN của [TEX]\sum a\sqrt{b+c}}[/TEX]
    Đặt [TEX]B=\sum a\sqrt{b+c}}[/TEX]

    \Rightarrow [TEX]2.\sqrt{\frac{3}{2}}B[/TEX]=[TEX]\sum 2.\sqrt{a}.\sqrt{\frac{3}{2}(ab+ac)}\leq a+b+c+3(ab+ac+bc)[/TEX]

    Từ đây tìm đk GTLN của B dễ dang

    => đpcm
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng tư 2014
  9. ronaldover7

    ronaldover7 Guest

    À mấy anh cj ơi,đây là topic cho HS lớp 8 dừng cho bài cao wa hay có lời giải khó wa nha!!!!!!!!!!!
     
    Bạch Ngọc Khiết thích bài này.
  10. Bài này có cách này cũng được nhé :).
    Bất đẳng thức tương đương.
    $\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$ \geq $3.\frac{\sqrt{3}}{2}$
    Xét hàm $f(x)=\frac{x}{1-x^2}$
    Xét $A=x.(1-x^2)$ \Rightarrow $2.A^2=2.x^2.(1-x^2)^2$.
    Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:
    $2.A^2$ \leq $\frac{8}{27}$ \Rightarrow $f(x)$ \geq $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    Từ đó suy ra đpcm.
     
  11. Cho $a;b;c$ > $0$ . Chứng minh rằng :
    $\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$ \geq $1,5$
     
  12. forum_

    forum_ Guest

    $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}= \dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}$

    \geq $\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} $ (theo B.C.S)

    Chú ý thêm BĐT: $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)$

    => ĐPCM

    Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi a=b=c

     
  13. Có $VT+3=(a+b+c)(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})$

    \Leftrightarrow $2(VT+3)=[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})$ \geq 9

    \Leftrightarrow $VT+3$ \geq $\dfrac{9}{2}$ \Leftrightarrow $VT$\geq$\dfrac{3}{2}=VP$
     

  14. Trong cuốn sách BDT có bài này, mấy anh chị giải giúp em(trong sách không có lời giải):

    Cho $n \in N^{*}$, dãy số dương $a_1, a_2,...,a_n$

    C/m: $\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}^3 \ge (\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k})^2$

    Anh, chị giải thích giúp em cái $\sum$ này là sao vậy, chỉ giúp em cách biến đổi và cách sử dụng nó với. thanks.(nói thật thì biết sử dụng một ít chứ chả hiểu ý nghĩa của nó là gì :)))
     
  15. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Bác là dân casio mà không biết cái này $\sum$ à :))

    Cái đó là xích ma ấy, hiểu rồi phải không :))

    À bài trên chắc phải có đk gì đó, vì $a_1= a_2=1$ thì BDT sai
     
  16. Em không phải dân Casio nên em không biết tha nhé =)).
    Thôi mấy bác đã nói vậy thì ...................... chơi luôn =)).
    Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c=1$. C/m
    $\sqrt{a+(b-c)^2}+\sqrt{b+(a-c)^2}+\sqrt{c+(a-b)^2}$ \geq $\sqrt{3}$.
     
  17. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Nhầm rồi mod xóa dùm cái @@
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng tư 2014
  18. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    Bài này Xài BDT Minkowski đuợc không ta :-?
     
  19. canonteresa

    canonteresa Guest

    Bình tĩnh đi bác .
    Chứng minh $\sqrt{a+(b-c)^2}+\sqrt{b+(a-c)^2}$ \geq $\sqrt{2(a+b)+(2.c-a-b)^2}$ ( bằng bđt Mincopxki)
    $\sqrt{c+(a-b)^2}$ \geq $\sqrt{c}$
    \Rightarrow $VT$ \geq $\sqrt{2(a+b)+(2.c-a-b)^2}$+$\sqrt{c}$=$\sqrt{2-2c+(3c-1)^2}$+$\sqrt{c}$
    Cần c/m VT \geq $\sqrt{3}$ đúng vì $c(3c-4)(3c-1)^2$ \leq $0$.
    \Rightarrow đpcm.
    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
     
  20. Tiếp nhé.
    Bài dễ thôi :rolleyes: :).
    Cho $2$ số $x;y$ thoả mãn: $x+y$=$1$ và $x.y=1$. Tìm $x;y$.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->