Đường trung bình

[a4leloi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho tứ giác ABCD, gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của DC. CM:
a) IJ \leq 1/2 (AD+BC)
b) Tứ giác ABCD là hình thang khi và chỉ khi IJ = 1/2 (AD+BC)
2) Ch tam giác ABC lấy M thuộc AB sao cho AM= 1/4 AB, N thuộc AC sao cho AN = 1/2 AC. Gọi P là giao điểm của MN và BC. CM: CP=1/2 BC
3) Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ đường cao CH. CM:
a) AH = AD+BC ;DH= AD-BC
................2 ................2

b) Từ kết quả của câu a. CM: trong hình thang cân mỗi đường chéo đều lớn hơn đường trung bình.
c) AB và CD kéo dài cắt nhau tại O. So sánh chu vi tam giác OAC và OMN.

P/S: Các bạn vẽ hình luôn nha. Ths kiu

 

[manhnguyen0164]

1.a) Gọi E là trung điểm của AC.

$\Delta ADC$ có $AE=EC$; $DJ=JC$ nên EJ là đường tung bình của tam giác ADC suy ra $EJ=\dfrac{AD}{2}$

Tương tự $IE=\dfrac{BC}{2}$

Xét ba điểm I,E,J có $IJ\le IE+JE \iff IJ\le \dfrac{AD+BC}{2}$ (đpcm)

b) Từ $IJ\le \dfrac{AD+BC}{2}$ suy ra $IJ=IE+JE$ suy ra ba điểm I,E,J thẳng hàng suy ra

$AD//BC$ hay tứ giác ABCD là hình thang. (đpcm)

 

[manhnguyen0164]

3.a) Hạ $BK\perp AD$ $(K\in AC)$.

$\Delta BKA=\Delta CHD$ (cạnh huyền góc nhọn) suy ra $AK=HD$

Tứ giác BCKH có $BC//KH,BK//CH$ nên $BC=KH$

Dễ thấy $2DH=AD-KH=AD-BC \iff DH=\dfrac{AD-BC}{2}$

Ta có: $AH=HD+KH=\dfrac{AD-BC}{2}+BC=\dfrac{AD+BC}{2}$

 

[manhnguyen0164]

3. b) Dễ dàng chứng minh được $AC+BD>BC+AD \iff 2AC>BC+AD$ (tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối)

MN là đường trung bình của hình thang cân ABCD nên $MN=\dfrac{BC+AD}{2} \iff 2MN=BC+AD$

Do đó $2AC>2MN \iff AC>MN$ (đpcm)

 

[manhnguyen0164]

3. c) Từ $AB=CD$ suy ra $AM=BM=CN=DN$

Ta có: $OA+OC+AC=OM+AM+OC+AC=OM+OC+CN+AC=OM+ON+AC$

Do $AC>MN$ (câu b) nên $OM+ON+AC>OM+ON+MN$ hay $OA+OC+AC>OM+ON+MN$

Vậy chu vi tam giác OAC lớn hơn chu vi tam giác OMN.