đối xứng trục

[namngotau]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi A', B', C' lần lượt là các điểm đối xứng của M qua đường phân giác của các góc A, B, C.Chứng minh: AA', BB', CC' đồng quy.

 

[hohoo]

đội 5

Gọi D,E,F là điểm đxứng với M qua AB,AC,BC; O là giao 3 đường phân giác của $\Delta$ABC
Đặt $\widehat{OAM}=\widehat{OAA'}=\alpha$
$\widehat{MAB}=\widehat{CAA'}=\beta$
(*) D đxứng với B qua AB\Rightarrow $\widehat{MAB}=\widehat{BAD}=\beta$
\Rightarrow $\widehat{AA'D}=\widehat{OAM}+\widehat{OAA'}+2 \widehat{BAM}=2\beta+2\alpha$
(*) E đxứng với M qua AC\Rightarrow $\widehat{CAM}=\widehat{CAE}$
Ta có $\widehat{OAB}=\widehat{OAC}$
$\widehat{OAM}=\widehat{OAA'}$ \Rightarrow $\widehat{BAM}=\widehat{CAA'}=\beta$
\Rightarrow $\widehat{MAC}=2 \alpha+\beta$ \Rightarrow $\widehat{CAE}=2 \alpha+\beta$
\Rightarrow $\widehat{EAA'}=2 \alpha+2 \beta$
\Rightarrow $\widehat{A'AE}=\widehat{A'AD}$
(*) Lại có AE=AD( cùng =AM)
\Rightarrow AA' là trung trực của DE
Tương tự BB' là trung trực của DF
CC' là trung trực của EF
\Rightarrow AA', BB', CC' là 3 đường trung trực của $\Delta$DEF nên chúng đồng quy