J
james_bond_danny47
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Mình có mấy bài hay mời các bạn thử sức
Định lý Ceva: Gọi E,F,G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC. Lúc đó, ba đường thẳng AE,BF,CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi:
[TEX]\frac{AG}{BG}.\frac{BE}{CE}.\frac{CF}{FA}[/TEX]=1.
Bài tập áp dụng:
Bài 1(Thi vô địch Hàn Quốc, 1992)
Trong tam giác ABC có AB khác AC, gọi V là giao điểm của phân giác góc A với cạnh BC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Nếu E và F tương ứng là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, hãy chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
Bài 2(Tạp chí Komal)
Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này tiếp xúc các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các điểm A1,B1,C1 . Các đường thẳng A1O,B1O,C1O tương ứng cắt các đoạn thẳng B1C1,C1A1,B1A1 tại các điểm A2,B2,C2
Chứng minh rằng ba đường thẳng AA2,BB2,CC2 đOng quy.
Bài 3(Olympic toán học mùa xuân - Bulgari, 1997)
Cho tứ giác lồi ABCD thỏa mãn GOC ABC=GOC DAB=GOC BCD . Gọi H,O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng H,O,D thẳng hàng.
Bài 4(Bài đề nghị cho IMO của Estonia, 1994)
Cho nửa đường tròn (T) nằm về một phía của đường thẳng (d). C và D là các điểm trên đường tròn (T). Các tiếp tuyến của (T) tại C và D cắt (d) tại B và A tương ứng, và tâm đường tròn nằm giữa hai điểm này. Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là điểm nằm trên (d) sao cho EF vuông góc với (d). Chứng minh EF là phân giác góc CFD.
Bài 5( Bài đề nghị IMO của Anh, 2000)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực tâm của một tam giác nhọn ABC. Chứng tỏ rằng tồn tại các điểm DEF tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA,AB sao cho OD+DH=OE+EH=OF+FH và các đường thẳng AD,BE,CF đồng quy.
Bài 6(Bài đề nghị cho IMO của Belarusia, 2001)
Gọi A1 là tâm của một h“nh vuông nội tiếp trong tam giác nhọn ABC với hai đỉnh của hình vuông ở trên cạnh BC. Như thế một trong của h“nh vuông trên cạnh AB và đỉnh kia trên cạnh AC. Các điểm B1,C1 được xác định theo cách tương tự cho các h“nh vuông nội tiếp với hai đỉnh lần lượt ở trên các cạnh AC và AB. Chứng minh rằng các đường thẳng AA1,BB1,CC1 dồng quy.
Định lý Ceva: Gọi E,F,G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC. Lúc đó, ba đường thẳng AE,BF,CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi:
[TEX]\frac{AG}{BG}.\frac{BE}{CE}.\frac{CF}{FA}[/TEX]=1.
Bài tập áp dụng:
Bài 1(Thi vô địch Hàn Quốc, 1992)
Trong tam giác ABC có AB khác AC, gọi V là giao điểm của phân giác góc A với cạnh BC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Nếu E và F tương ứng là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, hãy chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
Bài 2(Tạp chí Komal)
Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này tiếp xúc các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các điểm A1,B1,C1 . Các đường thẳng A1O,B1O,C1O tương ứng cắt các đoạn thẳng B1C1,C1A1,B1A1 tại các điểm A2,B2,C2
Chứng minh rằng ba đường thẳng AA2,BB2,CC2 đOng quy.
Bài 3(Olympic toán học mùa xuân - Bulgari, 1997)
Cho tứ giác lồi ABCD thỏa mãn GOC ABC=GOC DAB=GOC BCD . Gọi H,O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng H,O,D thẳng hàng.
Bài 4(Bài đề nghị cho IMO của Estonia, 1994)
Cho nửa đường tròn (T) nằm về một phía của đường thẳng (d). C và D là các điểm trên đường tròn (T). Các tiếp tuyến của (T) tại C và D cắt (d) tại B và A tương ứng, và tâm đường tròn nằm giữa hai điểm này. Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là điểm nằm trên (d) sao cho EF vuông góc với (d). Chứng minh EF là phân giác góc CFD.
Bài 5( Bài đề nghị IMO của Anh, 2000)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực tâm của một tam giác nhọn ABC. Chứng tỏ rằng tồn tại các điểm DEF tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA,AB sao cho OD+DH=OE+EH=OF+FH và các đường thẳng AD,BE,CF đồng quy.
Bài 6(Bài đề nghị cho IMO của Belarusia, 2001)
Gọi A1 là tâm của một h“nh vuông nội tiếp trong tam giác nhọn ABC với hai đỉnh của hình vuông ở trên cạnh BC. Như thế một trong của h“nh vuông trên cạnh AB và đỉnh kia trên cạnh AC. Các điểm B1,C1 được xác định theo cách tương tự cho các h“nh vuông nội tiếp với hai đỉnh lần lượt ở trên các cạnh AC và AB. Chứng minh rằng các đường thẳng AA1,BB1,CC1 dồng quy.
Last edited by a moderator: