Câu 6:
Trước hết ta thấy là trong 6 điểm phân biệt bất kì (ko có 3 điểm nào thẳng hàng) luôn tồn tại 1 tam giác đỏ (có 3 cạnh đều đỏ). Thật vậy, nếu trong 6 điểm mà tồn tại 1 điểm có ít nhất 3 đoạn xanh nối với điểm đó, giả sử điểm A có AB, AC, AD đều xanh chẳng hạn thì suy ra tam giác BCD phải đỏ (vì nếu có cạnh xanh thì sẽ có 1 tam jác xanh với đỉnh là A và cạnh xanh này, trái với giả thiết). Còn trường hợp nếu trong 6 điểm mà bất kì điểm nào cũng chỉ có tối đa 2 cạnh xanh từ nó thôi, hay tức là có ít nhất 3 cạnh đỏ từ nó, chẳng hạn AB, AC, AD đều đỏ, thì khi đó tam giác BCD theo jả thiết sẽ có 1 cạnh đỏ, cạnh này cùng với điểm A tạo thành 1 tam giác đỏ. Như vậy trong 6 điểm bất kì ko có 3 điểm nào thẳng hàng thì luôn tồn tại 1 tam giác đỏ.
Với 9 điểm bất kì (ko có 3 điểm nào thẳng hàng do nằm trên đường tròn), ta cần c/m luôn tồn tại 1 tứ giác đỏ (4 điểm mà 6 đoạn thẳng nối 4 điểm này đều đỏ), ta xét các trường hợp:
- Nếu có 1 điểm nào đó mà có ít nhất 4 đoạn xanh nối với nó, chẳng hạn AB, AC, AD, AE đều xanh, thì suy ra tứ giác BCDE là tứ giác đỏ vì nếu tứ giác này mà có đoạn nào xanh thì đoạn đó cùng với điểm A lập thành 1 tam jác xanh, trái với giả thiết.
- Nếu mọi điểm bất kì chỉ có tối đa 3 đoạn xanh nối với nó thôi, hay là có ít nhất 5 đoạn đỏ nối với nó. Ta chia 2 trường hợp nữa:
+ Nếu tồn tại 1 điểm có ít nhất 6 đoạn đỏ nối với nó, chẳng hạn AB, AC, AD, AE, AF, AG đều đỏ, khi đó trong 6 điểm B, C, D, E, F, G sẽ tồn tại 1 tam giác đỏ (theo trên), và tam giác đỏ này cùng với điểm A sẽ là 1 tứ giác đỏ.
+ Nếu mọi điểm bất kì có đúng 5 đoạn đỏ và 3 đoạn xanh nối với nó. Trường hợp này ko thể xảy ra, do đoạn thẳng nào cũng nối 2 điểm với nhau nên tổng số màu đỏ hay xanh của các điểm cộng lại luôn là số chẵn, vì nếu ta tô màu cho bất kì đoạn thẳng nào thì số màu của hệ điểm luôn đc công thêm 2 màu đó (cộng cho 2 điểm là 2 đầu mút của đoạn thẳng đc tô này, mỗi điểm cộng 1 màu). Ở đây vì mọi điểm đều có đúng 5 màu đỏ và 3 màu xanh nối với nó, nên tổng số màu xanh là 9.5 = 45 và tổng số màu đỏ là 9.3 = 27 đều cho ta 2 số lẻ, vô lý, vậy trường hợp này ko xảy ra.
==> Dpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
