[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Toán Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Ninh Bình 2016-2017
- Thread starter Viet Hung 99
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 424
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Câu 3.
a) Dễ dàng chứng minh được $M,H,A,O,B$ cùng thuộc $1$ đường tròn
$\triangle OBK \sim \triangle OHB (g.g) \Rightarrow OB^2=OK.OH$.
Vì $OH,OB$ không đổi $\Rightarrow$ $OK$ không đổi $\Rightarrow$ $K$ cố định
b) Gọi $G$ là giao điểm của $IJ$ và $HK$
Từ giả thiết $\Rightarrow HIJM$ nội tiếp $\Rightarrow \angle HJG = \angle IHK$ $(1)$ $\Rightarrow \triangle HIG \sim \triangle JHG \Rightarrow HG^2 = GI.GJ$ $(2)$
Dễ thấy: $HK$ là tia phân giác góc $\angle AHB$ $\Rightarrow \frac{AK}{BK}=\frac{HA}{HB}$
$\triangle HIA \sim \triangle HJB (g.g) \Rightarrow \frac{HA}{HB}=\frac{IA}{JB}$
$\Rightarrow \frac{AK}{BK}=\frac{IA}{JB}$
Xét $\triangle AKI$ và $\triangle BKJ$ có: $\frac{AK}{BK}=\frac{IA}{JB};\angle IAK = \angle JBK$
$\Rightarrow \triangle AKI \sim \triangle BKJ \Rightarrow \angle AIK = \angle BJK$
$\angle HJK + \angle AIK =\angle HJK + \angle BJK = 90^{\circ} \Rightarrow \angle HJK + HIK = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle HJK = \angle IHK + \angle IKH$ hay $ \angle HJG + \angle KJG = \angle IHK + \angle IKH$ $(3)$
Từ $(1)$ và $(3)$ $\Rightarrow \angle KJG = \angle IKH \Rightarrow \triangle KIG \sim \triangle JKG \Rightarrow GK^2 = GI.GJ$ $(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ $\Rightarrow HG=GK \Rightarrow G$ là trung điểm của $HK$
Vậy $IJ$ đi qua trung điểm $HK$
a) Dễ dàng chứng minh được $M,H,A,O,B$ cùng thuộc $1$ đường tròn
$\triangle OBK \sim \triangle OHB (g.g) \Rightarrow OB^2=OK.OH$.
Vì $OH,OB$ không đổi $\Rightarrow$ $OK$ không đổi $\Rightarrow$ $K$ cố định
b) Gọi $G$ là giao điểm của $IJ$ và $HK$
Từ giả thiết $\Rightarrow HIJM$ nội tiếp $\Rightarrow \angle HJG = \angle IHK$ $(1)$ $\Rightarrow \triangle HIG \sim \triangle JHG \Rightarrow HG^2 = GI.GJ$ $(2)$
Dễ thấy: $HK$ là tia phân giác góc $\angle AHB$ $\Rightarrow \frac{AK}{BK}=\frac{HA}{HB}$
$\triangle HIA \sim \triangle HJB (g.g) \Rightarrow \frac{HA}{HB}=\frac{IA}{JB}$
$\Rightarrow \frac{AK}{BK}=\frac{IA}{JB}$
Xét $\triangle AKI$ và $\triangle BKJ$ có: $\frac{AK}{BK}=\frac{IA}{JB};\angle IAK = \angle JBK$
$\Rightarrow \triangle AKI \sim \triangle BKJ \Rightarrow \angle AIK = \angle BJK$
$\angle HJK + \angle AIK =\angle HJK + \angle BJK = 90^{\circ} \Rightarrow \angle HJK + HIK = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle HJK = \angle IHK + \angle IKH$ hay $ \angle HJG + \angle KJG = \angle IHK + \angle IKH$ $(3)$
Từ $(1)$ và $(3)$ $\Rightarrow \angle KJG = \angle IKH \Rightarrow \triangle KIG \sim \triangle JKG \Rightarrow GK^2 = GI.GJ$ $(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ $\Rightarrow HG=GK \Rightarrow G$ là trung điểm của $HK$
Vậy $IJ$ đi qua trung điểm $HK$