[Đại 8] Bất đẳng thức

[tiasangmangtenss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) CMR: $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ lớn hơn hoặc bằng 4

2) CMR: $\frac{2ab}{a+b}<\frac{a+b}{2}$

3) CMR: $\frac{a^2+b^2}{2}$ \geq $(\frac{a+b}{2})^2$

4) CMR: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ \geq 2 với a,b dương

5) CMR: $\frac{1}{xy}$ \geq $\frac{4}{(x+y)^2}$

6) CMR: $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}$ \geq $\frac{4}{a+b}$ với a;b lớn hơn hoặc bằng 0

7) CMR: $\frac{1}{1-x^2}+ \frac{1}{1-y^2}$ \geq $\frac{2}{1-xy}$

8) CMR: $\frac{a^3+b^3}{2}$ \geq $(\frac{a+b}{2})^3$

9) CMR: $(a+b)(b+c)(c+a)$ lớn hơn hoặc bằng 8abc với a,b,c lớn hơn hoặc bằng 0
P/s: Mình không thể tìm ra lỗi Latex trong bài. Nếu các Mod hoặc tMod mà thấy thì sửa dùm mình chứ đừng xóa bài đi nha.
Đã sửa nhé

 

[thuyduong1805]

1. (a+b)(1/a+1/b)=1+1+a/b+b/a
áp dụng bđt cosi ta có: a/b+b/a\geq 2
\Rightarrow đcpcm
2. bn nhân chéo, khai triển rồi cho ra hằng đẳng thức( sử dụng đấ \Leftrightarrow nhé)
\Rightarrow đcpcm
3.để a^2+b^2/2\geq (a+b)^2/4
\Leftrightarrow a^2+b^2 \geq (a+b)^2/2 ( nhân cả 2 vế vs 2)
\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq(a+b)^2
\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0
\Rightarrow phép biến đổi trên là tương đương
\Rightarrow đcpcm

 

[trinhminh18]

4) CMR: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ \geq 2 với a,b dương
Áp dụng cô si cho 2 số dương ta có:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ \geq $2\sqrt{ \dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}} =2$
5) CMR: $\frac{1}{xy}$ \geq $\frac{4}{(x+y)^2}$
Ta có $(x+y)^2$ \geq 4xy
\Rightarrowxy\leq $\dfrac{(x+y)^2}{4}$
\Rightarrow$\frac{1}{xy}$ \geq $\frac{4}{(x+y)^2}$

 

[trinhminh18]

6/ theo Cauchy Schwarz Ta có:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$\geq $\dfrac{(1+1)^2}{a+b} = \dfrac{4}{a+b}$

 

[trinhminh18]

7/ Áp dụng Cauchy Schwarz \Rightarrow $\dfrac{1}{1-x^2}+\dfrac{1}{1-y^2}$ \geq $\dfrac{4}{2-x^2-y^2}$
Lại có $x^2+y^2$\geq $2xy$
\Rightarrow$2-x^2-y^2$\leq$2-2xy$
\Rightarrow$\dfrac{4}{2-x^2-y^2}$\geq$\dfrac{4}{2-2xy}=\dfrac{2}{1-xy}$

 

[manhnguyen0164]

9. $(a+b)^2\ge 4ab$

$(b+c)^2\ge 4bc$

$(c+a)^2\ge 4ac$

Nhân từng vế : $(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \ge 64a^2b^2c^2$

$\iff [(a+b)(b+c)(c+a)]^2\ge [8abc]^2$

Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều không âm nên

$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$ (đpcm)

 

[trinhminh18]

8/$\dfrac{a^3+b^3}{2}$\geq$\dfrac{(a+b)^3}{8}$
\Leftrightarrow$8a^3+8b^3$ \geq $2a^3+2b^3+6ab(a+b)$
\Leftrightarrow$a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$
\Leftrightarrow$a^2(a-b)-b^2(a-b)$\geq0
\Leftrightarrow$(a-b)^2(a+b)$\geq0
bđt cuối đúng \Rightarrow đpcm