Toán đa thức

[Hoàng Vũ Nghị]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả P(x) thỏa mãn x.P(x-1)=(x-2014).P(x) với mọi x thực .

 

[Ann Lee]

Tìm tất cả P(x) thỏa mãn x.P(x-1)=(x-2014).P(x) (1)với mọi x thực .

Xét x=0 => P(0)=0
Xét x=1 => P(1) =0
Xét x=2 => P(2)=0
......
Xét x=2014 => P(2013)=0
Như vậy đa thức P(x) có dạng x(x-1)(x-2)....(x-2013).Q(x)
=> P(x-1)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2014).Q(x-1)
Thay vào pt đã thức ban đầu x.(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2014).Q(x-1)=(x-2014).x(x-1)(x-2)....(x-2013).Q(x)
<=> Q(x-1)=Q(x) <=> [tex]Q(x)\equiv C[/tex]
Như vậy P(x)=x(x-1)(x-2)....(x-2013).C
Thử lại: thấy thỏa mãn
-> KL

 

[Bonechimte]

Tìm tất cả P(x) thỏa mãn x.P(x-1)=(x-2014).P(x) với mọi x thực .

Cho $x=0$ ta có $P(0)=0$
Cho $x=1$ ta có $(1-2014)P(1)=P(0)=0\Rightarrow P(1)=0$
Cho $x=2$ ta có $(2-2014)P(2)=2P(1)=0\Rightarrow P(2)=0$
....

Như vậy đa thức $P(x)$ có các nghiệm $x\in \left \{ 0,1,2,...,2013\right \}$
Đặt $P(x)=x(x-1)(x-2)...(x+2013).Q(x)$
Ta suy ra $P(x-1)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2014).Q(x-1)$
Thay vào phương trình đa thức ban đầu :
$$x.(x-1)(x-2)...(x-2014).Q(x-1)=(x-k).x(x-1)(x-2)...(x+2013).Q(x)\; \forall x\Leftrightarrow Q(x-1)=Q(x)\;\forall x\Leftrightarrow Q(x)\equiv C$$
Như vậy $P(x)=C.x(x-1)(x-2)...(x+2013)$. Thử lại