Toán 12 cực trị số phức

[Elishuchi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

(Chuyên Vinh - 2022) Gọi [imath]S[/imath] là tập hợp tất cả các số phức [imath]z[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]z \cdot \bar{z}=|z+\bar{z}|[/imath] Xét các số phức [imath]z_{1}, z_{2} \in S[/imath] sao cho [imath]\left|z_{1}-z_{2}\right|=1[/imath]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]P=\left|z_{1}-\sqrt{3} i\right|+\left|\overline{z_{2}}+\sqrt{3} i\right|[/imath] bằng
A. 2 .
B. [imath]1+\sqrt{3}[/imath].
C. [imath]2 \sqrt{3}[/imath].
D. [imath]\sqrt{20-8 \sqrt{3}}[/imath].
bài này mình casio ra đáp án D mà đề lại ra A ko biết mình sai hay đề sai
@vangiang124

 

[7 1 2 5]

Đặt [imath]z=a+bi[/imath]
Từ giả thiết ta có: [imath](a+bi)(a-bi)=|(a+bi)+(a-bi)|=|2a|[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a^2+b^2=|2a| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a^2+b^2=2a \\ a^2+b^2=-2a \end{array}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} (a-1)^2+b^2=1 \\ (a+1)^2+b^2=1 \end{array}\right.[/imath]
Từ đó gọi [imath]A,B[/imath] là điểm biểu diễn của [imath]z_1,z_2[/imath] thì từ giả thiết ta có [imath]AB=1[/imath] và [imath]A,B[/imath] thuộc 1 trong 2 đường tròn [imath](C_1),(C_2)[/imath] bán kính bằng [imath]1[/imath] và tâm [imath]I_1=(-1,0)[/imath] hoặc [imath]I_2=(1,0)[/imath]. Lấy [imath]C=(0,\sqrt{3})[/imath] thì [imath]CI_1=CI_2=2[/imath]
Ta có [imath]|z_1-\sqrt{3}i|+|\overline{z_2}+\sqrt{3}i|=CA+CB[/imath]
Ta thấy [imath]\min CA=CI_1-I_1A[/imath] (nếu [imath]A \in (C_1)[/imath]) hoặc [imath]\min CA=CI_2-I_2A[/imath] (nếu [imath]A \in (C_2)[/imath])
Mà cả 2 trường hợp ta đều có [imath]\min CA=1[/imath] nên tương tự [imath]\min CB=1[/imath]
[imath]\Rightarrow \min CA+CB=2[/imath]
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi A,B là giao điểm của đoạn [imath]CI_1,CI_2[/imath] với [imath](C_1),(C_2)[/imath]. Khi đó[imath]CA=AI_1=CB=BI_2=1[/imath]nên [imath]AB=\dfrac{1}{2}I_1I_2=1[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]\min CA+CB=2[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022