- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. kiến thức cần nhớ
để làm được dạng toán, học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản về cực trị và khối tròn xoay:
- sự tạo thành khối trụ tròn xoay, khối nón tròn xoay, mặt cầu.
- thể tích khối trụ tròn xoay, khối nón tròn xoay, mặt cầu.
- tìm GTLN, GTNN bằng khảo sát hàm số, bất đẳng thức hoặc là sử dụng máy tính cầm tay.
2. ví dụ minh họa
ví dụ 1: cho tam giác ABC vuông tại A, với AB=1, AC=2. H là điểm bất kì trên cạnh BC. D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. quay hình chữ nhật ADHE quanh trục AC, tính thể tích lớn nhất của khối trụ tròn xoay đó.
giải:
đặt độ dài đoạn EH là x, do DH//HE nên ta có tỉ lệ đồng dạng:
[tex]\frac{EC}{AC}=\frac{EH}{AB}=>AE=2-2x[/tex]
quay hình chữ nhật quanh trục AE, ta thu được khối tròn xoay.
bán kính đáy: [tex]r=EH=x[/tex], chiều cao [tex]h=AE=2-2x[/tex]
thể tích khối tròn xoay: [tex]V=\pi.r^2.h=\pi.x^2(2-2x)[/tex]
khảo sát hàm số trên trên khoảng (0;1), ta tìm được giá trị lớn nhất là:
[tex]V=\frac{8\pi}{27}[/tex] khi [tex]x=\frac{2}{3}[/tex]
ví dụ 2: cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. điểm C di động trên nửa đường tròn, H là hình chiếu vuông góc của C lên đường kính AB và [tex]\widehat{CAB}=\alpha[/tex]. tìm giá trị [tex]\alpha[/tex] để thể tích khối tròn xoay khi xoay tam giác ACH quanh AB đạt giá trị lớn nhất ?
giải:
ta có:
[tex]AC=AB.cos\alpha =2R.cos\alpha[/tex]
[tex]AH=AC.cos\alpha =2R.cos^2\alpha[/tex]
[tex]CH=AC.sin\alpha =2R.cos\alpha .sin\alpha[/tex]
quay tam giác quanh trục AB, ta thu được khối nón có:
[tex]r=CH =2R.cos\alpha .sin\alpha[/tex]
[tex]h=AH =2R.cos^2\alpha[/tex]
thể tích khối nón khi đó:
[tex]V=\frac{\pi}{3}.r^2.h=\frac{8\pi}{3}.R^3.sin^2\alpha .cos^4\alpha[/tex]
đánh giá AM-GM, ta có:
[tex]V=\frac{8\pi}{3}.R^3.sin^2\alpha .cos^4\alpha =\frac{4\pi}{3}.R^3.2sin^2\alpha .cos^2\alpha .cos^2\alpha \leq \frac{4\pi}{3}.R^3.(\frac{2sin^2\alpha +cos^2\alpha +cos^2\alpha }{3})^3=\frac{32\pi}{81}R^3[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\sqrt{2}sin\alpha =cos\alpha =>tan\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}=>\alpha =arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]
để làm được dạng toán, học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản về cực trị và khối tròn xoay:
- sự tạo thành khối trụ tròn xoay, khối nón tròn xoay, mặt cầu.
- thể tích khối trụ tròn xoay, khối nón tròn xoay, mặt cầu.
- tìm GTLN, GTNN bằng khảo sát hàm số, bất đẳng thức hoặc là sử dụng máy tính cầm tay.
2. ví dụ minh họa
ví dụ 1: cho tam giác ABC vuông tại A, với AB=1, AC=2. H là điểm bất kì trên cạnh BC. D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. quay hình chữ nhật ADHE quanh trục AC, tính thể tích lớn nhất của khối trụ tròn xoay đó.
giải:
đặt độ dài đoạn EH là x, do DH//HE nên ta có tỉ lệ đồng dạng:
[tex]\frac{EC}{AC}=\frac{EH}{AB}=>AE=2-2x[/tex]
quay hình chữ nhật quanh trục AE, ta thu được khối tròn xoay.
bán kính đáy: [tex]r=EH=x[/tex], chiều cao [tex]h=AE=2-2x[/tex]
thể tích khối tròn xoay: [tex]V=\pi.r^2.h=\pi.x^2(2-2x)[/tex]
khảo sát hàm số trên trên khoảng (0;1), ta tìm được giá trị lớn nhất là:
[tex]V=\frac{8\pi}{27}[/tex] khi [tex]x=\frac{2}{3}[/tex]
ví dụ 2: cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. điểm C di động trên nửa đường tròn, H là hình chiếu vuông góc của C lên đường kính AB và [tex]\widehat{CAB}=\alpha[/tex]. tìm giá trị [tex]\alpha[/tex] để thể tích khối tròn xoay khi xoay tam giác ACH quanh AB đạt giá trị lớn nhất ?
giải:
ta có:
[tex]AC=AB.cos\alpha =2R.cos\alpha[/tex]
[tex]AH=AC.cos\alpha =2R.cos^2\alpha[/tex]
[tex]CH=AC.sin\alpha =2R.cos\alpha .sin\alpha[/tex]
quay tam giác quanh trục AB, ta thu được khối nón có:
[tex]r=CH =2R.cos\alpha .sin\alpha[/tex]
[tex]h=AH =2R.cos^2\alpha[/tex]
thể tích khối nón khi đó:
[tex]V=\frac{\pi}{3}.r^2.h=\frac{8\pi}{3}.R^3.sin^2\alpha .cos^4\alpha[/tex]
đánh giá AM-GM, ta có:
[tex]V=\frac{8\pi}{3}.R^3.sin^2\alpha .cos^4\alpha =\frac{4\pi}{3}.R^3.2sin^2\alpha .cos^2\alpha .cos^2\alpha \leq \frac{4\pi}{3}.R^3.(\frac{2sin^2\alpha +cos^2\alpha +cos^2\alpha }{3})^3=\frac{32\pi}{81}R^3[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\sqrt{2}sin\alpha =cos\alpha =>tan\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}=>\alpha =arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]