cực trị hình học

[conangbonmat]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Trong các tứ giác lồi ABCD có $AD=a , BC=b$ ($a,b$ là các hằng số) xác định dạng của tứ giác ABCD để độ dài đoạn $MN$ nối trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ là lớn nhất.
2, CMR: Trong tứ giác lồi có 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
@ Bài event.

 

[hohoo]

đội 5

2)G/s tứ giác ABCD có 2 đg chéo = nhau và vg góc vs nhau
\Rightarrow $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac{AC.BD}{2}$ không đổi
Đặt AB=a,BC=b,CD=c,DA=d (a,b,c,d >0)
Ta có $2S_{ABC}$\leq ab, $2S_{ADC}$\leq cd
\Rightarrow 2S \leq ab+cd (dấu = xảy ra \Leftrightarrow $\hat{B}$=$\hat{D}$=$90^0$)
Tg tự 2S \leq bc+ad (dấu = xảy ra \Leftrightarrow $\hat{A}$=$\hat{C}$=$90^0$)
\Rightarrow 4S \leq ab+cd+bc+ad = (a+c)(b+d) (1) ( .....\Leftrightarrow ABCD là h` chữ nhật)
Ta có $(a+c-b-d)^2$\geq0
\Leftrightarrow $(a+b+c+d)^2-4(a+c)(b+d)$\geq0
\Leftrightarrow $(a+b+c+d)^2$\geq4(a+c)(b+d) (2)
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $(a+c-b-d)^2=0$ \Leftrightarrow a+c=b+d
Từ (1) và (2) \Rightarrow $(a+b+c+d)^2$ \geq 16S (......... \Leftrightarrow a+c=b+d và ABCD là h` chữ nhật \Leftrightarrow ABCD là h` vuông)
Do S ko đổi nên h` có chu vi nhỏ nhất là h` vuông

 

[haiyen621]

Đội 1
Bài 1
Gọi P là trung điểm đường chéo AC \Rightarrow AP = CP

Xét [tex]\large\Delta[/tex]ABC có
AP = CP (cmt)
AM = MB ( M là trung điểm AB)
\Rightarrow PM là đường trung bình của [tex]\large\Delta[/tex]ABC
\RightarrowPM = [TEX]\frac{BC}{2}=\frac{b}{2}[/TEX]

Xét [tex]\large\Delta[/tex]ADC có
AP = CP (cmt)
DN = CN ( N là trung điểm CD)
\Rightarrow PN là đường trung bình [tex]\large\Delta[/tex]ADC
\RightarrowPN= [TEX]\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}[/TEX]

Xét [tex]\large\Delta[/tex]PMN ta có MN\leqPM+PN (bất đẳng thức tam giác)

MN \leq [TEX]\frac{a+b}{2}[/TEX] vì a, b là hằng số
\Rightarrow MN \leq [TEX]\frac{a+b}{2}[/TEX] ko đổi

Dấu = xảy ra P,M,N thẳng hàng
\Leftrightarrow AD//MN//BC
\Leftrightarrow ABCD là hình thang