Toán [Chuyên đề] Các Bài Toán Đại Hay Và Khó

[manhnguyen0164]

Bài 8: Tìm ba chữ số bên trái đầu tiên của M biết:
$M=1^1+2^2+3^3+...+999^{999}+1000^{1000}$

$1000^{1000}<M<1000^1+1000^2+1000^3+...+1000^{999}+1000^{1000}$

$\iff 100.................0 < M < 100100100.......1000$.

$ \ \ \ \ \ 3000 chữ số 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3001 chữ số$

$\to $ 3 chữ số đầu tiên bên trái là 100.

 

[manhnguyen0164]

Bài 9: a. Chứng tỏ rằng đa thức: $x^3+y^3+z^3-3xyz$ chia hết cho đa thức $x+y+z$.

b. Xác định m để đa thức: $x^3+y^3+z^3+mxyz$ chia hết cho đa thức $x+y+z$.

Bài 10: Gọi m là số nhỏ nhất trong 3 số $(x-y)^2, (y-z)^2, (z-x)^2$.

Chứng minh rằng: $m\le \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}$.

Bài 11: Tồn tại hay không các số nguyên a,b,c thõa mãn: $a^3+b^3+c^3=2012$.

 

[deadguy]

9a.
$x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz$
$=(x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)[(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy)$
$=(x+y+z)[x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$
Vậy đa thức $(x^3+y^3+z^3-3xyz)$ chia hết cho $(x+y+z)$
b. ( Đoán đại ) $m=-3$
(Anh/chị nào giỏi giải thích hộ bài này ).

 

[manhnguyen0164]

9b. Giải như bình thường thôi.

$x^3+y^3+z^3-mxyz=(x+y+z).Q_{(x)}$ với mọi x.

Cho $x=1, y=1, z=-2$ thì: $1+1-8-2m=0 \iff m=-3$.

Bài 10: Vai trò x,y,z bình đẳng, không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y \ge z$.

m là số nhỏ nhất trong 3 số $(x-y)^2, (y-z)^2, (z-x)^2 \to \sqrt{m}$ là số nhỏ nhất trong 3 số $|x-y|, |y-z|, |z-x|$

Ta có: $|z-x|=x-z=(x-y)+(y-z)=|x-y|+|y-z| \ge 2\sqrt{m} \to (z-x)^2 \ge 4m$

Mà $(y-z)^2\ge m , (x-y)^2\ge m$ nên:

$3(x^2+y^2+z^2)\ge (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 6m$

$\iff m\le \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}$

 

[songdzianhem]

11

Đặt $ a=3k+r (k\epsilon Z) , r\epsilon { 0;1;2 } $.
$ a^{3}=27k^3+27k^2r+9kr^2+r^3$.
$ r\epsilon { 0;1;2 } $ nên $ r^3\epsilon { 0;1;8 }$.Vậy $a^3$ chia 9 dư 0;1;8.
Tương tự $b^3$ chia 9 dư 0;1;8
$c^3$ chia 9 dư 0;1;8
Nên $ a^3+b^3+c^3 $ chia 9 có số dư là 0;1;2;3;6;7;8
Mà 2012 chia 9 dư 5 nên không tồn tại a;b;c thõa mãn

 

[songdzianhem]

góp vài câu

12: Giả sử $a\neq 0 $ và $a+\dfrac{1}{a}\in Z $.Chứng minh $ a^n+\dfrac{1}{a^n}\in Z $ với mọi $n \in Z$

13:Cho a;b;c khác nhau và khác 0 thõa mãn a+b+c=0.CM $$ (\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}).(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a})=9 $$

 

[huynhbachkhoa23]

12: Giả sử $a\neq 0 $ và $a+\dfrac{1}{a}\in Z $.Chứng minh $ a^n+\dfrac{1}{a^n}\in Z $ với mọi $n \in Z$

13:Cho a;b;c khác nhau và khác 0 thõa mãn a+b+c=0.CM $$ (\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}).(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a})=9 $$

Bài 12: Với $n=1$ và $n=0$ thì $a^n+\dfrac{1}{a^n} \in\mathbb{Z}$
Giả sử $a^n+\dfrac{1}{a^n} \in\mathbb{Z}$ với $n=k-1$ và $n=k$
Với $n=k+1$:
$$a^{k+1}+\dfrac{1}{a^{k+1}}=\left (a+\dfrac{1}{a} \right)\left (a^k+\dfrac{1}{a^{k}} \right)-\left (a^{k-1}+\dfrac{1}{a^{k-1}} \right) \in \mathbb{Z}$$
Theo nguyên lý quy nạp thì ta có điều phải chứng minh.

Bài 13: Bung nát ra.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 14: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ và $abc=1$. Tính:
$$A=(a^2-bc+4)(b^2-ca+4)(c^2-ab+4)$$

 

[riverflowsinyou1]

Lâu lâu vào hocmai chơi có chuyên đề này thì quất luôn
15) Cho $a,m,n \in N^*$ chứng minh $(a^m-1;a^n-1)=a^(m,n)-1$
16) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $3^{n-1}+5^{n-1}$ chia hết cho $3^n+5^n$

 

[huynhbachkhoa23]

Lâu lâu vào hocmai chơi có chuyên đề này thì quất luôn
15) Cho $a,m,n \in N^*$ chứng minh $(a^m-1;a^n-1)=a^(m,n)-1$
16) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $3^{n-1}+5^{n-1}$ chia hết cho $3^n+5^n$

thằng điên này, bỏ thuật chia Euclid vào đây làm gì.

 

[huynhbachkhoa23]

Lâu lâu vào hocmai chơi có chuyên đề này thì quất luôn
15) Cho $a,m,n \in N^*$ chứng minh $(a^m-1;a^n-1)=a^(m,n)-1$
16) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $3^{n-1}+5^{n-1}$ chia hết cho $3^n+5^n$

Bài 16:
$3^{n-1}<3^{n}$ và $5^{n-1}<5^n \rightarrow n$ không tồn tại.
Nếu đề ngược lại thì làm như sau:
Tự chứng minh
$$4\le \dfrac{3^n+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}}<5$$
Từ đó dẫn đến $n=1$

 

[deadguy]

Mấy chú cứ việc chém mấy bài này cho vui

 

[tien_thientai]

Bài S thì dễ rồi
cộng 2 cái liên tiếp thì ra
và kết quả là
$\frac{16x^{15}}{x^{16}-x^{16}}$

 

[riverflowsinyou1]

Bài 16:
$3^{n-1}<3^{n}$ và $5^{n-1}<5^n \rightarrow n$ không tồn tại.
Nếu đề ngược lại thì làm như sau:
Tự chứng minh
$$4\le \dfrac{3^n+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}}<5$$
Từ đó dẫn đến $n=1$

Do ngu tiếng anh nên anh đây sub đề cũng không tốt cho lắm :3

 

[deadguy]

Giải mấy bài này chuẩn bị đi thi học kì :
Tìm max hay min của phân thức :
a)$\dfrac{1}{9x^2-6x+7}$
b)$\dfrac{6}{4x-x^2-6}$
c)$\dfrac{1}{2x-x^2-4}$
d)$\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$

 

[transformers123]

Giải mấy bài này chuẩn bị đi thi học kì :
Tìm max hay min của phân thức :
a)$\dfrac{1}{9x^2-6x+7}$

$\dfrac{1}{9x^2-6x+7}=\dfrac{1}{(3x-1)^2+6} \le \dfrac{1}{6}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=\dfrac{1}{3}$

 

[hien_vuthithanh]

d)$\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$

$\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ =1-$\dfrac{2}{x^2+1}$ \geq 1-$\dfrac{2}{1}=-1$
\Rightarrow min=-1 tại x=0

 

[transformers123]

Giải mấy bài này chuẩn bị đi thi học kì :
Tìm max hay min của phân thức :
b)$\dfrac{6}{4x-x^2-6}$

$\dfrac{6}{4x-x^2-6}=\dfrac{6}{-(x-2)^2-2} \ge \dfrac{6}{-2}=-3$

Dấu "=" xảy ra khi $x=2$

 

[transformers123]

Giải mấy bài này chuẩn bị đi thi học kì :
Tìm max hay min của phân thức :
c)$\dfrac{1}{2x-x^2-4}$

$\dfrac{1}{2x-x^2-4}=\dfrac{1}{-(x-1)^2-3} \ge \dfrac{1}{-3} =\dfrac{-1}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Đảm bảo tiêu chí hay và khó, xin cống hiến ba bài cho tổ quốc )
Bài 1: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^2+3b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^2+3c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^2+3a^2}} \ge \dfrac{3}{2}$$
Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$\sqrt{\dfrac{a}{8b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{8c+a}}+ \sqrt{\dfrac{c}{8a+b}}$$
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi $n$ tự nhiên thì ra luôn có:
$$\left[\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right]=\left[\sqrt{4n+2}\right]$$