CM phân giác

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình thang cân ABCD (BC//AD). M, N là trung điểm BC, AD. Trên tia đối AB lấy P bất kì. PN cắt BD tại Q. CM: MN là phân giác góc PMQ

 

[thienbinhgirl]

đội 5

Gọi I, K, R thứ tự là giao điểm của PM, MQ với AD; PQ
với BC.
Ta có: M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC => MN vuông góc AD
Do đó, để cm: MN là phân giác của góc PMQ,
ta chỉ cần chứng minh: tam giác IMK cân tại M.
Do BC // AD => $\frac{IN}{MR}=\frac{PN}{PR};\frac{AN}{PR}=\frac{PN}{PR}\rightarrow \frac{IN}{MR}=\frac{AN}{BR}$

Và: $\frac{KN}{MR}=\frac{NQ}{QR};\frac{NQ}{QR}=\frac{ND}{BR}\rightarrow \frac{KN}{MR}=\frac{ND}{BR}$
Mà: N là trung điểm của AD => AN = ND =>
tam giác IMK có MN vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => tam giác IMK cân tại M
=> đpcm

 

[tanngoclai]

$AC$ cắt $PM$ tại $K$, cắt $BD$ tại $O$; $AD$ cắt $PM$ tại $E$. Vẽ $AI // DQ \ (I \in PQ)$

Dễ dàng chứng minh $OA = OD; \ AI=QD$

Theo Thales ta có : $\dfrac{AK}{KC}= \dfrac{AE}{MC}=\dfrac{AE}{BM}=\dfrac{PA}{PB}= \dfrac{AI}{QB}=\dfrac{QD}{QB} \to \dfrac{AK}{AC} = \dfrac{QD}{BD}$

Mà $AC=BD \to AK=QD \to OK=OD$

Dễ dàng chứng minh tam giác $KOM$ bằng tam giác $QOM$ $\to dpcm$.