Chuyên đề toán cực trị hình học?

[shuieshushu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐỀ BÀI: Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm A di động sao cho tam giác ABC nhọn, AA' là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm A để AA'.HA' đạt giá trị lớn nhất.
P/s: Mọi người giúp em với nhé, em cần gấp! Cảm ơn mọi người trước nha

 

[huynhbachkhoa23]

Chọn $H'$ đối xứng với $H$ qua $A'$

Kẻ đường cao $CC'$

Dễ chứng minh $\Delta AA'B \sim \Delta CC'B$

$\rightarrow \widehat{HCB}=\widehat{HAB}$

Lại có $\widehat{HCB}=\widehat{H'CB}$ và $\widehat{AA'B}=\widehat{A'CH}$

Suy ra $\Delta AA'B \sim \Delta CA'H$

Suy ra $AA'.AH=AA'.A'H=BA'.CA' \le \dfrac{(BA'+CA')^2}{4}=\dfrac{BC^2}{4}=\text{const}$

Đẳng thức xảy ra khi $A'$ là trung điểm $BC$

Vậy $A$ sao cho $ABC$ cân tại A.