Toán 10 Chứng minh $P(x)=x$ có nghiệm nguyên

[lilnuuu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp e với ạ :<
Cho [imath]P(x) \in \mathbb{Z}[x][/imath] biết phương trình [imath]P(P(P(x)))=x[/imath] có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng [imath]P(x)=x[/imath] cũng có nghiệm nguyên.

 

[7 1 2 5]

Giả sử phương trình [imath]P(P(P(x)))=x[/imath] có nghiệm nguyên [imath]x=a[/imath]
Đặt [imath]P(a)=b,P(P(a))=c[/imath] thì ta có hệ: [imath]\begin{cases} P(a)=b \\ P(b)=c \\ P(c)=a \end{cases}[/imath]
Khi đó ta có [imath]b-c=P(a)-P(b) \vdots a-b \Rightarrow |b-c| \leq |a-b|[/imath]
Tương tự thì [imath]c-a=P(b)-P(c) \Rightarrow |c-a| \leq |b-c|[/imath]
[imath]a-b=P(c)-P(a) \Rightarrow |a-b| \leq |c-a|[/imath]
Kết hợp cả [imath]3[/imath] hệ thức trên ta có [imath]|a-b|=|b-c|=|c-a|[/imath]. Từ đó ta dễ dàng suy ra [imath]a=b=c[/imath].
Từ đó [imath]P(a)=a[/imath] hay [imath]P(x)=x[/imath] có nghiệm nguyên [imath]x=a[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học