Cho đường tròn (O;R), vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn CA lấy điểm G sao cho CG = 1/3 CA. Tia OG cắt BC tại M, vẽ ON vuông góc với BG tại N. Chứng minh: MN = 2R
doanhnhannguyenthinh@gmail.com
[imath]\Delta ACB[/imath] nội tiếp đường tròn, AB là đường kính nên [imath]\Delta ACB[/imath] vuông tại B
Suy ra: [imath]AC \perp BM[/imath]
Lại có: [imath]CM = CB[/imath]
Suy ra: [imath]\Delta MAB[/imath] cân tại [imath]A[/imath]. Hay [imath]AM = AB[/imath]
Do [imath]\Delta MAB[/imath] có: [imath]AM[/imath] trung tuyến mà [imath]GC = \dfrac{1}{3}AC[/imath]nên [imath]G[/imath] là trọng tâm [imath]\Delta MAB[/imath]
[imath]BG \cap (C) = F[/imath]; [imath]BG \cap AM = E[/imath]. Ta có: [imath]BE[/imath] là trung tuyến [imath]\Delta MAB[/imath] nên [imath]EA = EM = \dfrac{MA}{2}[/imath]
Mà: [imath]OA = OB = \dfrac{AB}{2} \to EA = OB[/imath]
Ta có: [imath]\Delta ÀB[/imath] vuông tại [imath]F \to AF \perp BE[/imath]
Suy ra: [imath]\widehat{OBN} + \widehat{FAB} = 90^o[/imath]
Mà: [imath]MA \perp AB \to[/imath]\widehat{EAF} + \widehat{FAB} = 90^o \to \widehat{EAF} = \widehat{OBN}$
Xét [imath]\Delta EAF = \Delta OBN[/imath]
Suy ra: [imath]AF = NB[/imath]. Lại có: [imath]ON \perp BF[/imath] nên [imath]FA = FN = FB[/imath]
Suy ra: [imath]\Delta AFN[/imath] vuông cân. Hay [imath]\widehat{FNA} = 45^o \to \widehat{ANB} = 135^o[/imath]
Xét [imath]\Delta MAF = \Delta BAN \to \widehat{MFA} = \widehat{ANB} = 135^o[/imath]
Suy ra: [imath]\widehat{MFN} = 135^o[/imath]
Xét [imath]\Delta MFN = \Delta MFA \to MN = MA[/imath] mà [imath]MA = AB = 2R \to MN = 2R[/imath]
Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo kiến thức tại topic này nha
Trọn bộ kiến thức học tốt các môn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
