Toán 11 Chứng minh bđt bằng pp quy nạp toán học

[Nguyễn Cao Trường]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 ta có :

 

[Lê Tự Đông]

Với n=1 thì
$sin^{2n} \alpha + cos^{2n} \alpha = sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$
Giả sử bất phương trình đúng đến n=k, hay $sin^{2n} \alpha + cos^{2n} \alpha = sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha \leq 1$
Cần chứng minh $sin^{2(k+1)} \alpha + cos^{2(k+1)} \alpha \leq 1$
Thật vậy, ta có:
$sin^{2(k+1)} \alpha + cos^{2(k+1)} \alpha = sin^{2k} \alpha.sin^{2} \alpha + cos^{2k} \alpha . cos^{2} \alpha = sin^{2k} \alpha . (1-cos^{2} \alpha) +cos^{2k} \alpha . (1-sin^{2} \alpha) = (sin^{2k} \alpha + cos^{2k} \alpha) - (sin^{2k} \alpha . cos^{2} \alpha+ cos^{2k} \alpha . sin^{2} \alpha) \leq 1-0 = 1$
$=>(đpcm)$

 

[kido2006]

Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 ta có :
View attachment 169209

[tex]sin^{2n}a+cos^{2n}a\leq sin^{2}a+cos^{2}a=1,\forall n\geq 1[/tex]