Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức với các số a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3

K

Khánh Ngô Nam

Học sinh chăm học
Thành viên
7 Tháng tám 2019
965
1,103
146
Phú Yên
THCS Tôn Đức Thắng
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương,được
3=ab + bc + ac [tex]\geq \sqrt[3]{(abc)^{2}}\Rightarrow abc\leq 1[/tex]
[tex]1+a^2(b+c)\geq abc+a^2(b+c)=a(ab+bc+ac)=3a[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{3a}[/tex] (1)
Tương tự ta có [tex]\frac{1}{b^2(a+c)}\leq \frac{1}{3b};\frac{1}{c^2(a+b)}\leq \frac{1}{3c}[/tex] (2)
Công (1),(2) lại ta có
[tex]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi
abc = 1 ; a + b + c = 3
Suy ra a = b = c = 1 , (0<a,b,c)
 
  • Like
Reactions: ankhongu
You must log in or register to reply here.
Top Bottom