Toán 12 Cho tứ diện ABCD có AB=x, CD=y và các cạnh còn lại bằng 1. Tìm GTLN của thể tích tứ diện ABCD

Thảo luận trong 'Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất' bắt đầu bởi Duclam112001, 26 Tháng năm 2019.

Lượt xem: 105

  1. Duclam112001

    Duclam112001 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    57
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    Thpt cao thắng
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Cho tứ diện ABCD có AB=x, CD=y và các cạnh còn lại bằng 1. Tìm GTLN của thể tích tứ diện ABCD
     
  2. iceghost

    iceghost Phó nhóm Toán Cu li diễn đàn TV BQT xuất sắc nhất 2016

    Bài viết:
    4,143
    Điểm thành tích:
    721
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Tân Thông Hội

    26_2.png
    Gọi $I$, $J$ là trung điểm $AB$, $CD$ thì $IJ \perp AB$ và $IJ \perp CD$. Ngoài ra ta còn có $CD \perp (ABI)$
    Dễ thấy $V_{A.BCD} = 2V_{A.BYD} = \dfrac{2}{3} \cdot DI \cdot S_{ABI}$
    Tính nào: $BI = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4} y^2}$
    $IJ = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4} y^2 - \dfrac{1}4 x^2}$
    Suy ra $V_{A.BCD} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac12 y \cdot \dfrac12 \cdot \sqrt{1 - \dfrac14 y^2 - \dfrac14 x^2} \cdot x = \dfrac1{12} xy \sqrt{4 - (x^2+y^2)}$
    Áp dụng bđt Cô-si ta có $$V \leqslant \dfrac1{12} xy \sqrt{4 - 2xy} = \dfrac1{12} \sqrt{xy \cdot xy \cdot (4 - 2xy)} \leqslant \dfrac1{12} \sqrt{\dfrac{(xy + xy + 4-2xy)^3}{27}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{27}$$
    Vậy GTLN của $V_{A.BCD}$ là $\dfrac{2\sqrt{3}}{27}$ đạt tại $x = y = \sqrt{xy} = \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
     

    Các file đính kèm:

    • 26_1.png
      26_1.png
      Kích thước:
      244.7 KB
      Đọc:
      8
    Duclam112001Nguyễn Hương Giang . thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->