Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R, dựng tiếp tuyến Cx của (O). Trên Cx lấy điểm M, đường thẳng MB cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là D. Dựng đường kính DE của (O), đường thẳng ME cắt ( O) tại giao điểm thứ 2 là K, BK cắt MC tại L a, Chứng minh MC^2=MB.MD và 4 điểm D,K,L,M cùng nằm trên 1 đường tròn b, Gọi I là giao điểm của BL, BC. Chứng minh M,O,I thẳng hàng c, Hãy tìm vị trí của M trên Cx để diện tích tam giác IBC lớn nhất
c,
Gọi T là trung điểm DC ; MT cắt BC tại H
Gọi N là hình chiếu cuả D trên BC
Có $\Delta MDC\sim \Delta MCB(g.g)$
Mà T và O lần lượt là trung điểm DC và BC
Do đó $\Delta MDT \sim \Delta MCO (c.g.c)$
[tex]\Rightarrow OITH[/tex] nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{OHI}=90^{\circ}[/tex]
Dễ thấy DLCN là hình chữ nhật (theo câu a suy ra góc 90)
Có [tex]\frac{BN}{BC}=\frac{DN}{MC}(talet)\Leftrightarrow \frac{BC-NC}{BC}=\frac{DN}{MC}\Leftrightarrow 1-\frac{DN}{MC}=\frac{NC}{BC}\Leftrightarrow \frac{MC-DN}{MC}=\frac{DL}{BC}\Rightarrow DL=\frac{BC(MC-DN)}{MC}[/tex]
Có [tex]\frac{IH}{DN}=\frac{CI}{DC}=\frac{BC}{BC+DL}=\frac{BC}{BC+\frac{BC(MC-DN)}{MC}}=\frac{MC}{2MC-DN}[/tex]
[tex]\Rightarrow IH=\frac{MC.DN}{2MC-DN}\Rightarrow \frac{1}{IH}=\frac{2}{DN}-\frac{1}{MC}=\frac{2}{DN}-\frac{BN}{DN.BC}=\frac{1}{DN}(2-\frac{BN}{BC})=\frac{1}{DN}(\frac{BN+2NC}{BC})\geq ^{AM-GM}\frac{1}{DN}.\frac{2\sqrt{2BN.NC}}{BC}[/tex]
$=\frac{1}{DN}.\frac{2\sqrt{2}.DN}{BC}=\frac{2\sqrt{2}}{BC}$
[tex]\Rightarrow IH\leq \frac{BC}{2\sqrt{2}}=\frac{2R}{2\sqrt{2}}=\frac{R} {\sqrt{2}}\Rightarrow S_{BIC}=\frac{IH.BC}{2}\leq \frac{R^2}{\sqrt{2}}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} BN=2NC\\ IH=\frac{R}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow DN=...\Rightarrow MC=R\sqrt{2}[/tex]
Đoạn cuối bạn tự thay số vào tính nhé , dùng hệ thức lượng và talet thôi
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
