Ta đặt [TEX](xy,yz,zx)=(a,b,c)[/TEX] cho gọn nhé.
Khi đó [TEX]a+b+c=xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}[/TEX]
Ta cần chứng minh [TEX]\dfrac{8}{1-a}+\dfrac{8}{1-b}+\dfrac{8}{1-c} \leq 27[/TEX]
Lại có: [TEX]\dfrac{8}{1-a}\leq 9+\dfrac{243}{16}(a^2-\dfrac{1}{81})+\dfrac{27}{4}(a-\dfrac{1}{9})[/TEX]
Tương tự cộng vế theo vế thì ta cần chứng minh:
[TEX]\dfrac{243}{16}(a^2+b^2+c^2-\dfrac{1}{27})+\dfrac{27}{4}(a+b+c-\dfrac{1}{3}) \leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \dfrac{243}{16}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{27}{4}(a+b+c) \leq \dfrac{45}{16}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)+\dfrac{4}{9}(a+b+c) \leq \dfrac{5}{27}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+\dfrac{4}{9}(xy+yz+zx) \leq \dfrac{5}{27}[/TEX]
Đặt [TEX]x+y+z=p=1,xy+yz+zx=q,xyz=r[/TEX] thì ta cần chứng minh:
[TEX]q^2-2pr+\dfrac{4}{9}q \leq \dfrac{5}{27}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow q^2-2r+\dfrac{4}{9}q \leq \dfrac{5}{27}[/TEX]
Theo BĐT Schur bậc 3 thì [tex]r \geq \max \left \{ 0,\dfrac{4pq-p^3}{9} \right \}=\max \left \{ 0,\dfrac{4q-1}{9} \right \}[/tex]
+ Nếu [TEX]q \leq \dfrac{1}{4}[/TEX] thì [TEX]r \geq 0[/TEX].
Khi đó [TEX]q^2-2r+\dfrac{4}{9}q \leq (\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}<\dfrac{5}{27}[/TEX]
+ Nếu [TEX]q \geq \dfrac{1}{4} \Rightarrow r \geq \dfrac{4q-1}{9}[/TEX]
Ta có: [TEX]q=xy+yz+zx \leq \dfrac{1}{3}[/TEX]
Khi đó [TEX]q^2-2r+\dfrac{4}{9} \leq q^2-2.\dfrac{4q-1}{9}+\dfrac{4}{9}q=q^2-\dfrac{4}{9}q+\dfrac{2}{9}[/TEX]
Ta có [TEX]q^2-\dfrac{4}{9}q+\dfrac{2}{9} \leq \dfrac{5}{27} \Leftrightarrow (q-\dfrac{1}{9})(q-\dfrac{1}{3}) \leq 0[/TEX](đúng)
Từ đó ta có đpcm.
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
