Xét đa thức đặc trưng $P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + 3 \lambda^2 + \lambda - 3 = 0$
$\implies \lambda = 1 \vee \lambda = -1 \vee \lambda = 3$
- Với $\lambda = 1$ thì $(A - \lambda I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -4 & -8 & - 4 \\ 2 & 6 & 4 \\ -2 & -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \implies \begin{cases} x_1 = x_3 \\ x_2 = -x_3 \end{cases}$
Khi đó $v = (x_3, -x_3, x_3) = x_3(1, -1, 1)$ nên vector riêng $v_1 = (1, -1, 1)$
- Với $\lambda = -1$ thì $(A - \lambda I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -2 & -8 & - 4 \\ 2 & 8 & 4 \\ -2 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \implies \begin{cases} x_1 = 2x_3 \\ x_2 = -x_3 \end{cases}$
Khi đó $v = (2x_3, -x_3, x_3) = x_3(2, -1, 1)$ nên vector riêng $v_2 = (2, -1, 1)$
- Với $\lambda = 3$ thì $(A - \lambda I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -6 & -8 & - 4 \\ 2 & 4 & 4 \\ -2 & -4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \implies \begin{cases} x_1 = 2x_3 \\ x_2 = -2x_3 \end{cases}$
Khi đó $v = (2x_3, -2x_3, x_3) = x_3(2, -2, 1)$ nên vector riêng $v_3 = (2, -2, 1)$
Suy ra $A = PDP^{-1}$ trong đó $P = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ và $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
Từ đó $A^{10} = PD^{10}P^{-1} = P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{10} \end{pmatrix} P^{-1} = \ldots$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
