[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chứng minh bất đẳng thức:
Toán 9 Chứng minh BĐT
- Thread starter Lena1315
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 367
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
+) Trước hết đi CM trong trường hợp : [tex]a\geq b > 0 [/tex]
Ta có bđt kẹp: [tex]2a^2+bc\leq 2a^2+ac\leq 2(a+c)^2[/tex] (1) (bđt này luôn đúng với a,b,c không âm và [tex]a\geq b[/tex] )
Mặt khác theo bđt AM-GM ta có:
[tex](2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq \frac{[(2b^2+ac+2c^2+ab)]^2}{4}\doteq \frac{2(b^2+c^2)+a(b+c)}{4}\leq \frac{[2(b+c)^2+a(b+c)]^2}{4}=\frac{(b+c)^2(a+2b+2c)^2}{4}\leq \frac{(b+c)^2(a+2b+3c)^2}{4}=4(b+c)^2[/tex] (2)
Từ (1) và (2) ta có: [tex](2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq 8(a+c)^2(b+c)^2[/tex]
Giờ đi CM : [tex](a+c)^2(b+c)^2\leq 4[/tex] là xong
Theo AM-GM ta có: [tex](a+c)(b+c)=\frac{1}{2}(a+c)(2b+2c)\leq {\frac{[(a+c)+(2b+2c)]^2}{8}}=\frac{(a+2b+3c)^2}{8}=2\Rightarrow (a+c)^2(b+c)^2\leq 4[/tex]
Từ đó ta rút ra 1 bđt tổng quát: Với mọi x,y,z không âm thỏa mãn [tex]x\geq y[/tex] ta luôn có: [tex](2x^2+yz)(2y^2+xz)(2z^2+xy)\leq \frac{(x+2y+3z)^6}{128}[/tex] (*)
+) Giờ đi xét trường hợp [tex]0<a<b[/tex]
khi đó áp dụng bđt (*) cho bộ (b,a,c) ta được:
[tex](2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq\frac{(b+2a+3c)^6}{128}< \frac{(a+2b+3c)^6}{128}=32[/tex]
Vậy bđt được CM
Dấu "=" xra khi a=2,b=1,c=0
Ta có bđt kẹp: [tex]2a^2+bc\leq 2a^2+ac\leq 2(a+c)^2[/tex] (1) (bđt này luôn đúng với a,b,c không âm và [tex]a\geq b[/tex] )
Mặt khác theo bđt AM-GM ta có:
[tex](2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq \frac{[(2b^2+ac+2c^2+ab)]^2}{4}\doteq \frac{2(b^2+c^2)+a(b+c)}{4}\leq \frac{[2(b+c)^2+a(b+c)]^2}{4}=\frac{(b+c)^2(a+2b+2c)^2}{4}\leq \frac{(b+c)^2(a+2b+3c)^2}{4}=4(b+c)^2[/tex] (2)
Từ (1) và (2) ta có: [tex](2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq 8(a+c)^2(b+c)^2[/tex]
Giờ đi CM : [tex](a+c)^2(b+c)^2\leq 4[/tex] là xong
Theo AM-GM ta có: [tex](a+c)(b+c)=\frac{1}{2}(a+c)(2b+2c)\leq {\frac{[(a+c)+(2b+2c)]^2}{8}}=\frac{(a+2b+3c)^2}{8}=2\Rightarrow (a+c)^2(b+c)^2\leq 4[/tex]
Từ đó ta rút ra 1 bđt tổng quát: Với mọi x,y,z không âm thỏa mãn [tex]x\geq y[/tex] ta luôn có: [tex](2x^2+yz)(2y^2+xz)(2z^2+xy)\leq \frac{(x+2y+3z)^6}{128}[/tex] (*)
+) Giờ đi xét trường hợp [tex]0<a<b[/tex]
khi đó áp dụng bđt (*) cho bộ (b,a,c) ta được:
[tex](2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq\frac{(b+2a+3c)^6}{128}< \frac{(a+2b+3c)^6}{128}=32[/tex]
Vậy bđt được CM
Dấu "=" xra khi a=2,b=1,c=0
