Toán 10 bđt thú dị

[matheverytime]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0
CMR
[tex]\frac{a^9}{bc}+\frac{b^9}{ac}+\frac{c^9}{ab}+\frac{1}{3abc}\geqslant a^3+b^3+c^3+3\sqrt[3]{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)}[/tex]
Nguồn : độ từ 1 bài trong cuốn kim cương

 

[utopiaguy]

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt {\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{ 2} \right)}{ab+bc+ca}}$
Ta có : $A=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{\sum \sqrt{(a\sqrt{a+b+c})^2+(\sqrt{abc})^2}}{\sqrt{(a+ b)(b+c)(c+a)}}\geq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3+9abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
$\Rightarrow A\geq \sqrt{\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\left(\dfrac{a+b+b +c+c+a}{3} \right)^3}}=3\sqrt{\frac{3(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)^2}} $
Suy ra : $P\geq f(x)=3\sqrt{\frac{3}{2x+4}}+\sqrt{2x},\left(x\geq 1 \right)$$x=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{\sqrt{(\frac{2x+4}{3})^3}}\geq 0$$\left(\sqrt{\frac{2x+4}{3}} \right)^3\geq \sqrt{2x}\Leftrightarrow 8x^3+24x^2+42x+64\geq 0$
Theo đó : $P\geq f(x)\geq f(1)=\frac{5}{\sqrt{2}}$

 

[matheverytime]

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt {\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{ 2} \right)}{ab+bc+ca}}$
Ta có : $A=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{\sum \sqrt{(a\sqrt{a+b+c})^2+(\sqrt{abc})^2}}{\sqrt{(a+ b)(b+c)(c+a)}}\geq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3+9abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
$\Rightarrow A\geq \sqrt{\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\left(\dfrac{a+b+b +c+c+a}{3} \right)^3}}=3\sqrt{\frac{3(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)^2}} $
Suy ra : $P\geq f(x)=3\sqrt{\frac{3}{2x+4}}+\sqrt{2x},\left(x\geq 1 \right)$$x=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{\sqrt{(\frac{2x+4}{3})^3}}\geq 0$$\left(\sqrt{\frac{2x+4}{3}} \right)^3\geq \sqrt{2x}\Leftrightarrow 8x^3+24x^2+42x+64\geq 0$
Theo đó : $P\geq f(x)\geq f(1)=\frac{5}{\sqrt{2}}$

sao VT lại = cái đó nhỉ

 

[utopiaguy]

À sorry nhé mình gửi nhầm người